Programación Dinámica en Variable Continua Y Programación Dinámica Probabilística

Programación Dinámica en Variable Continua

Y Programación Dinámica Probabilística.

Prof. J. Barrios M. -- Enero del 2002.

Introducción.

-Estos apuntes son continuación de los de PD en variable discreta que se estudian en el curso Investigación de Operaciones-I, y hasta ahora las variables de estado s han sido variables discretas. Aquí se estudia 2 temas: i)la PD en variable continua, y ii)la PD Probabilística.

-Recordemos que la PD es una técnica matemática que proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación de decisiones que maximiza la efectividad total.

- Las características esenciales de los problemas que se abordan en PD son los ya enunciados en los apuntes anteriores. Hay estados s que ahoran toman valores en el conjunto de los números reales, normalmente en todo IR o en un intervalo de éste. Esto hace que la cantidad de estados s es infinita, y la técnica de cálculo para llegar a la solución, ya vista, no es aplicable.

- A continuación se plantean y resuelven ejemplos de problemas del tipo que interesa en estos apuntes, y que son: PD en variable continua, y PD probabilística.

Ejemplo 1. (Variable continua)

Enunciado: Una empresa tiene 10 trabajadores con jornada completa y al cabo de 3 temporadas quiere tener 50, con las restricciones siguientes.

La temperada próxima siguiente debe tener de 20 a 50 trabajadores y la subsiguiente debe tener de 30 a 60 trabajadores. El costo para la empresa por el cambio de nivel de empleo de una temporada a otra es del cuadrado de la diferencia de niveles de empleo que se tenga, costos por contratación, capacitación y adecuación de la empresa al nuevo nivel de empleo. Si se bajara el nivel, el costo es por indemnizaciones, y costo social para la empresa.

Se puede tener fracción de jornada porque se entenderá que corresponde a jornada parcial.

Se desea saber qué nivel de empleo al final de la etapa 1 y etapa 2 hacen mínimo el costo total, y cuál es ese costo mínimo total.

Gráficamente:

P: Mín i=3(xi - xi-1 ) ; sujeto a: x0 = 10 , x3 = 50

i=1

P: Min  (x1-10)2 + ( x2 - x1)2 + ( 50 - x2 )2  ; s. a: x1=10 , x3=5

Los Cálculos:

N=3 s F*3 X*3

30  s  60 (50 - s)2 50

N=2 ; F.O. f2(s,x2) = (s - x2)2 + f *3 = (s - x2)2 + (50 - x2)2

= s2 - 2 x2s + x22 + 2500 - 100x2 + x22

= 2x22 - 2x2s - 100x2 + s2 + 2500

f2 = 4x2 - 2s - 100 = 0

x2

2( 2x2 - s - 50 ) = 0  x2 = ( s + 50 ) / 2 = x*2

2f2 = 4 > 0  existe mínimo para f2 en la variable x2 , en términos de la variable s.

x22

Análisis: Con 20 

...