Resonancia

RESONANCIA

Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la solución estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características físicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada. En la frecuencia w a la que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce resonancia en amplitud. Cuando es la amplitud de la velocidad la que se hace máxima se dice que se produce resonancia en energía.

El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza en una frecuencia específica ajustando la frecuencia natural del circuito receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.

VIBRACIÓN, AMORTIGUAMIENTO YRESONANCIA

• Introducción.

• Concepto de amortiguamiento.

• Tres casos:

o Movimiento sobreamortiguado.

o Movimiento críticamente amortiguado.

o Movimiento subamortiguado.

• Vibraciones forzadas

• Resonancia.

• Analogías con la electricidad.

INTRODUCCIÓN: VIBRACIONES

Partimos de un sistema en el que hay una masa y un muelle entre la masa y una pared (eje Y). A este sistema se le llama sistema resonante de 2º orden. Existen muchos ejemplos más, pero nos vamos a centrar en éste por lo inmediato que resulta comprobar lo aquí mostrado, cualquiera pude coger una goma y un peso y hacerlo oscilar. Se pueden coger diferentes tipos de gomas y se puede ver que el comportamiento de las oscilaciones no es el mismo, al igual que si variamos el peso.

Este sistema puede representar un altavoz, es una masa móvil (cono) y un muelle (suspensión). Muchos de los lectores tendrán algo de experiencia con el diseño de cajas acústicas y conocerán las cajas cerradas. Una caja cerrada, aparte de evitar el cortocircuito acústico, es capaz de modificar los parámetros del altavoz, de manera que este de comportará de manera diferente según sea la caja.

Hay infinidad de sistemas que se comportan igual, no sólo mecánicos, sino como veremos al final eléctricos.

Si su nivel de matemáticas no le permite seguir la deducción, al final de cada apartado hay un párrafo con las conclusiones en lenguaje no matemático.

Todas las derivadas serán respecto del tiempo.

La posición de la masa es x, su masa M y K la constante elástica del muelle, y el muelle se halla parcialmente extenido.

Tenemos:

(ley de hooke)

Por la ley de acción y reacción (2ª de Newton), el módulo de la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es la misma que recibe la masa (de cajón), y el sentido el opuesto. Osea:

Para resolver de manera sencilla la ecuación se hace

, y de la ecuación caracteristica se deduce que la solución es de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales de

sale que la solución es

(x0 posición inicial).

Osea, que el sistema resonante vibra de manera armónica y permanece así indefinidamente si nada lo frena. Esto, como veremos a continuación, en el mundo real no es posible, ya que siempre hay pérdidas de esa energía que le hace vibrar.

La frecuencia a la que vibra el sistema se conoce como frecuencia de resonancia del sistema (Fs), y viene dada por:

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CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTO

En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que sea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico simple:

El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fluídos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c es un coeficiente de rozamiento viscoso.

F=c*v = c*x'

(cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada), la ecuación se hace:

Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemos

y

tenemos:

La ecuación característica es:

Las raíces son:

(ec 1)

Esto muestrs tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o complejas. Estamos llegando a la compresión del fenómeno del amortiguamiento.

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TRES CASOS:

CASO 1

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,

... y tenemos dos raíces reales. La solución es

donde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es una exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:

El eje vertical corresponte a la posición del cono y el horizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente.

A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

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CASO 2

Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,

y

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es

La gráfica de esto es como un lado de una campana de Gauss. La masa también tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente, pero la velocidad al principio crece lentamente.

Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Su importancia radica en que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.

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CASO 3

En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y conjugadas.

Para simplificar las ecuaciones, haremos:

Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de números complejos, tenemos una solución de la forma:

Aplicando las condiciones

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