Riems En México
Enviado por ascaciox • 18 de Mayo de 2012 • 2.891 Palabras (12 Páginas) • 331 Visitas
EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.
Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, f RT .
Podemos expresar a RT en términos de h y el ángulo que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:
En virtud de que RT es un aproximador de la DIFERENCIA f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,
df = f '(xo)h
Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:
df = f ' (xo)h = (2xo)h
que también lo podemos expresar como:
d(x2) = (2xo)h
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:
a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h
c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h
En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:
df = f '(xo)dx
Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación f para xo y h dados y la compararemos con el diferencial.
Ejemplo . Verifique que:
a) Para f(x) = x2 se cumple que f df en xo = 1 y h = 0.1
Solución:
f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima.
Observación: El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.
b) Para f(x) = x2 se cumple que f df en xo = 1 y h = -0.1
Solución:
f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima..
c) Para f(x) = x2 se cumple que f df en xo = 2 y h = 0.006
Solución:
f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403
df = f ' (2)dx =(2x|x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400
La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas
.
d) Para f(x) = se cumple que f df en xo = 8 y h = 0.2
Solución:
f = f(8.2) - f(8) = 2.016529 - 2 = 0.016529
df = f ' (8)dx =( |x=8 )(0.2) = (1/12)(0.2) = 0.016666
La variación real difiere de la aproximada en una diezmilésima.
e) Para f(x) = se cumple que f df en xo = 64, h = 0.2
Solución:
f = f(64.2) - f(64) = 4.004162334 - 4 = 0.004162334
df = f ' (649)dx =( |x=64 )(0.2) = (1/48)(0.2) = 0.00416666
La variación real difiere de la aproximada en cuatro millonésimas.
f) Para f(x) = sen(x) se cumple que f df en xo = /3, h = 0.1
Solución:
f = f( /3 + 0.1) - f( /3) = 0.9116155 - 0.8660254 = 0.04559
df = f ' ( /3)dx =(cos(x)|x= /3 )(0.1) = (0.5)(0.1) = 0.050
La variación real difiere de la aproximada en cinco milésimas.
Observación: En todos los ejemplos anteriores comprobamos que f df en el punto e incremento dados, sin embargo tanto f como df son muy pequeños, casi iguales a cero, y decir que éstos son muy parecidos parece trivial. En realidad éstos dos números son muy parecidos en el sentido de que
como se puede apreciar en el siguiente desarrollo
lo cual significa que, para valores muy pequeños de h, la fracción es prácticamente igual a 1 ó bien que f es prácticamente igual a df.
APLICACIONES DEL DIFERENCIAL
PROBLEMAS DEL TIPO I.
A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que, por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna función.
Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.
Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas A y la compararemos con dA.
Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.
En este caso la función es A(L) = L2 y por lo tanto A en L = 15 y h = 0.04 es:
A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016
Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:
dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004) = (30)(0.004) = 1.2
En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)
Generalmente este tipo de variaciones se miden en
...