Sociedad Matemática Mexicana
Enviado por De vidrio O de lata • 18 de Septiembre de 2022 • Examen • 2.715 Palabras (11 Páginas) • 35 Visitas
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Sociedad Matemática Mexicana
Solución de los Problemas[pic 3][pic 4]
Problema 1
NO se trata de "construir" ejemplos de "caminos" que nos lleven a INTUIR la respuesta. Se trata de desarrollar un proceso que JUSTIFIQUE nuestras "ideas".
El proceso "más sencillo" es construir TODOS los caminos posibles, afortunadamente, NO son muchos. Luego, realizar las correspondientes SUMAS.
En la cuadrícula siguiente se muestra la cantidad de caminos… iniciando en la esquina superior izquierda... el cuadro que tiene la letra I… que hay para "llegar" a CADA UNO de los cuadros de la cuadrícula.
I | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 3 | 6 | 10 |
1 | 4 | 10 | 20 |
En consecuencia, se tienen 20 posibles caminos. Veamos otra manera de CONTAR tales caminos.
Si "identificamos" cada movimiento por medio de una letra… H, si es hacia la derecha, V, si es hacia abajo… un camino se representará como una "sucesión" de SEIS letras… 3 de las cuales son H y las restantes 3 son V…
Si colocamos, en 3 de los 6 lugares, la MISMA letra, es obvio que SÓLO habrá UNA manera de llenar… de colocar la otra letra… los 3 lugares vacíos.
Así, para obtener la cantidad de caminos, basta contar… sin importar el "orden", o sea, contar como COMBINACIONES… las posibles maneras de elegir 3 de los 6 lugares.
⎛ 6 ⎞
Entonces, se tienen ⎜ 3 ⎟, o sea,[pic 5]
20, caminos.
La pregunta sería, SI no se construyen todos los posibles caminos, ¿cómo obtener la solución del problema?
La figura siguiente, que se obtiene al girar 45°… en el "sentido" de las manecillas del reloj… la cuadrícula que está en el enunciado, proporciona una manera FÁCIL de resolver el problema.
Es obvio que la cuadrícula se VE como una "estructura" con SIETE "niveles". Un camino se "construye", entonces, eligiendo un número en cada nivel.[pic 6]
Así, la MENOR suma posible… 46… se obtiene al elegir, en cada nivel, uno de los números en los "extremos" de él, la MAYOR suma posible… 50… es consecuencia de elegir, en cada nivel, uno de los números que están "en medio" de tal nivel.
Otra manera de "justificar" las respuestas obtenidas, de "resolver" el problema, es considerar las diagonales de la cuadrícula original… que son SIETE… igual que los niveles mencionados anteriormente…
Un camino… de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha… se construye con SIETE cuadros, cada uno de los cuales se encuentra en UNA de las diagonales.[pic 7]
En las diagonales UNO y SIETE sólo hay UN cuadro, así esos cuadros son parte de "cualquier" camino. En las diagonales DOS y SEIS, para efectos de la suma, como en los cuadros de cada una de ellas está el mismo número, NO importa el que se tome para formar el camino.
Así, en cualquier camino, en cualquier suma, aparecen los números 1, 2, 12 y 16. Es decir, la suma, por lo menos, es 31.
¿Qué distingue a las posibles sumas? La elección de los cuadros en las diagonales de en medio, las diagonales TRES, CUATRO y CINCO.
Luego, por la "simetría" de cada una de ellas, la MENOR suma posible se obtendrá al elegir los números de los cuadros de los "extremos"… 3, 4 y 8… y la MAYOR al elegir los números de los cuadros de "en medio"… 4, 6 y 9…
Por lo tanto, la MENOR suma es 46 y la MAYOR suma es 50.
Problema 2
En primer lugar, es importante hacer una figura que ilustre los conceptos que se mencionan en el enunciado.
[pic 8]
1 | 2 | 3 | 4 |
2 | 4 | 6 | 8 |
3 | 6 | 9 | 12 |
4 | 8 | 12 | 16 |
La primera pregunta, ¿Cómo "demostrar" una desigualdad que involucra a las medidas de una serie de segmentos?
La "idea" más natural… "pensando" en triángulos… es hacer uso de la llamada desigualdad del triángulo, que establece:
[pic 9]
En palabras, la SUMA de las medidas de cualesquiera DOS lados de un triángulo es MAYOR que la medida del tercer lado.
[pic 10]
Usando este "resultado", en el triángulo ABE, se tiene que AB + BE > AE. Análogamente, en el triángulo CDE, se tiene que DE + EC > DC.
Sumando, miembro a miembro, estas desigualdades: AB + BE + DE + EC > AE + DC. Así, como AE = AD + DE, se sigue que AB + BE + DE + EC > AD + DE + DC.
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