TRABAJO COLAB FASE II

PROBLEMAS PROPUESTOS

La integral definida de f entre a y b es ∫_a^b▒〖f(x)dx= lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒f(c_i ) 〗 ∇x=F(b)-F(a) para cualquier función f definida en [a, b] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, c_1,c_(2 , … , ) c_n. En tal caso, se dirá que f es integrable en [a, b].

Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Calculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto. Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b),

Entonces:

∫_a^b▒f(x) dx= 〖lim〗┬(t→b^- )⁡∫_a^t▒f(x)dx

Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

Evaluar las siguientes integrales impropias:

1. ∫_0^1▒ln(x)dx

La grafica de f(x)=lnx es:

F es una función continua acotada en [ԑ, 1] para todo ԑ ˃ 0, entonces f es integrable en [ԑ, 1]

Sabiendo que:

∫▒f(x) g^' (x)dx=f(x)g(x)-∫▒〖f´(x)g(x)dx〗

f(x)=lnx g(x)=x

f´(x)= 1/x g´(x)=1

∫_0^1▒ln(x)dx=xln

Entonces la primitiva de f(x)= xlnx-x

Además validamos que:

lim┬(ε→0)⁡〖f(ε)= lim┬(ε→0)⁡〖(εlnε- ε)=lim┬(ε→0)⁡〖ε(lnε- 1)= 〗 lim┬(ε→0)⁡〖(lnε- 1)/(1/ε)〗 〗 〗

lim┬(ε→0)⁡〖f(ε)= lim┬(ε→0)⁡〖(1/ε)/(1/ε^2 )〗= 〗 lim┬(ε→0)⁡〖ε=0〗

Teniendo en cuenta el teorema anterior el resultado final de la integral es igual a:

∫_0^1▒ln(x)dx=f(1)-0=1ln1-1-0=-1

2. ∫_2^∞▒〖1/(x-1)^2 dx〗

0 1

〖=lim〗┬(b→∞)⁡∫_2^b▒〖(x-1)〗^(-2) = lim┬(b→∞)⁡[〖(x-1)〗^(-1)/(-1)] 〖/_2〗^b= lim┬(b→∞)⁡(-1/((b-1) )+1/((2-1) ))= 1

3.∫_(-∞)^∞▒〖e^(-5x) dx〗

〖=lim┬(a→-∞)〗⁡〖∫_a^c▒〖e^(-5x) dx〗 +lim┬(b→+∞)⁡∫_c^b▒〖e^(-5x) dx〗 〗=lim┬(a→-∞)⁡〖[-1/5 e^(-5x) ] 0¦a +lim┬(b→+∞)⁡〖[-1/5 e^(-5x) ] b¦0〗 〗

=lim┬(a→-∞)⁡〖[(-1/5)-(-e^(-5a)/5) ] +lim┬(b→+∞)⁡[(-1/(5e^5b ))-(-1/5) ] 〗=-1/5+(-∞)+0+1/5

=∞+1/5=∞

4.

∫▒〖(4+x)/√(x^2-4) dx〗=∫▒〖4/√(x^2-4) dx〗+∫▒〖x/√(x^2-4) dx〗

I_1 ∫▒〖4/√(x^2-4) dx〗

I_2 ∫▒〖x/√(x^2-4) dx〗

I_1 ∫▒〖4/√(x^2-4) dx〗=∫▒〖4/√(x^2-2^2 ) dx〗

x=2 Secθ=dx=2 Secθ*Tanθ dθ

I_1 ∫▒〖4/√(x^2-2^2 ) dx〗=∫▒〖(4*2 Secθ*Tanθ)/√(4 〖Sec〗^2 θ-4) dθ〗

8∫▒〖(Secθ*Tanθ)/√(4 〖(Sec〗^2 θ-1)) dθ〗

8∫▒〖(Secθ*Tanθ)/(2√(〖(Sec〗^2 θ-1))) dθ〗

8/2 ∫▒〖(Secθ*Tanθ)/√(〖Sec〗^2 θ-1) dθ〗

4∫▒〖(Secθ*Tanθ)/√(〖Tan〗^2 θ) dθ〗

4∫▒〖(Secθ*Tanθ)/Tanθ dθ〗=4∫▒〖Secθ dθ〗

4∫▒(Secθ (Sec θ+Tanθ)dθ)/((Sec θ+Tanθ) )=4∫▒〖(〖Sec〗^2 θ+Sec θ*Tanθ )/(Secθ+Tanθ) dθ〗

u=Secθ+Tanθ

du=(Sec θ*Tanθ+〖Sec〗^2 θ)dθ=(〖Sec〗^2 θ+Sec θ*Tanθ)dθ

4∫▒(du )/u=4 Ln |u|+C=4 Ln |Secθ+Tanθ|+C

x=2 Secθ=Secθ=x/2

Tan θ=√(x^2-4)/2

=4 Ln |Secθ+Tanθ|+C=4 Ln |x/2+√(x^2-4)/2|+C

I_1 ∫▒〖4/√(x^2-4) dx〗=4 Ln |x/2+√(x^2-4)/2|+C

I_2 ∫▒〖x/√(x^2-4) dx〗

u=x^2-4=du=2xdx=du/2=xdx

I_2 ∫▒〖x/√(x^2-4) dx〗=∫▒〖1/√u du/2=1/2〗 ∫▒du/√u

1/2 ∫▒〖du/√u=〗 1/2

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