Tendencias No Lineales

Regresión no lineal

Supongamos que al hacer la representación gráfica correspondiente la distribución bidimensional, hemos obtenido la figura 6.1c. Se observa una clara relación entre las dos variables, pero desde luego, esa relación no es lineal.

Por tanto, debemos buscar la función que ha de describir la dependencia entre las dos variables.

Nos limitaremos al estudio de las más utilizadas: la función parabólica, la logarítmica, la exponencial y la potencial.

PARÁBOLA DE REGRESIÓN

En muchos casos, es una función de segundo grado la que se ajusta lo suficiente a la situación real dada.

La expresión general de un polinomio de 2º grado es:

Y=a+bX+cX2

donde a, b y c son los parámetros.

El problema consiste, por tanto, en determinar dichos parámetros para una distribución dada. Seguiremos para ello, un razonamiento similar al que hicimos en el caso del modelo de regresión lineal simple, utilizando el procedimiento de ajuste de los mínimos cuadrados, es decir, haciendo que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la curva de regresión sea mínima:

donde, siguiendo la notación habitual, yi son los valores observados de la variable dependiente, e los valores estimados según el modelo; por tanto, podemos escribir D de la forma:

Para encontrar los valores de a, b y c que hacen mínima la expresión anterior, deberemos igualar las derivadas parciales de D con respecto a dichos parámetros a cero y resolver el sistema resultante. Las ecuaciones que forman dicho sistema se conocen como ecuaciones normales de Gauss (igual que en el caso de la regresión lineal simple).

FUNCIÓN EXPONENCIAL, POTENCIAL Y LOGARÍTMICA

El problema de ajustar un modelo potencial, de la forma Y=AXb y uno exponencial Y=ABX se reduce al de la función lineal, con solo tomar logaritmos.

v Modelo potencial:

Si tomamos logaritmos en la expresión de la función potencial, obtendremos:

logY = logA +b logX

Como vemos es la ecuación de una recta: Y=a+bX, donde ahora a = logA. De modo que el problema es sencillo, basta con transformar Y en logY y X en logX y ajustar una recta a los valores transformados. El parámetro b del modelo potencial coincide con el coeficiente de regresión de la recta ajustada a los datos transformados, y A lo obtenemos mediante el antilog(a).

v Modelo exponencial:

Tomando logaritmos en la expresión de la función exponencial, obtendremos:

logY = logA + logB X

También se trata de la ecuación de una recta Y=a+bX, pero ahora ajustándola a logY y a X; de modo que, para obtener el

...