Teoria De La Elasticidad

ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO

(∂σ_r)/∂r+(σ_r-σθ)/r+1/r*τ_rθ/∂θ+R=0 (radial)

1/r*∂σθ/∂θ+(∂τ_rθ)/∂r+2*τ_rθ/r=0 (tangencial)

COMPONENTES DE TENSION (Deben satisfacer la compatibilidad de deformaciones y con las ecuaciones de equilibrio)

σ_r=1/r*(∂∅)/∂r+1/r^2 *(∂^2∅)/(∂θ^2 )

σ_θ=(∂^2∅)/(∂r^2 )

τ_rθ=1/r^2 *(∂∅)/∂θ-1/r*(∂^2∅)/∂r∂θ

Donde ∅: función de tensión (r, θ)

ECUACION DE COMPATIBILIDAD

(∂^2/(∂r^2 )+1/r*∂/∂r+1/r^2 *∂^2/(∂θ^2 ))*((∂^2∅)/(∂r^2 )+1/r*(∂∅)/∂r+1/r^2 *(∂^2∅)/(∂θ^2 ))=0

DISTRIBUCION DE TENSIONES UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE

Cualquier variación de tensiones respecto al ángulo θ=0; para este caso en particular τ_rθ=0

Ecuación diferencial de equilibrio:

(∂σ_r)/∂r+(σ_r-σθ)/r+R=0

Ecuación diferencial de compatibilidad:

(∂^2/(∂r^2 )+1/r*∂/∂r)*((∂^2∅)/(∂r^2 )+1/r*(∂∅)/∂r)=0

Ecuación de compatibilidad:

((∂^4∅)/(∂r^4 )+2/r*(∂^3∅)/(∂r^3 )-1/r^2 *(∂^2∅)/(∂r^2 )+1/r^3 *(∂∅)/∂r)=0

Función de tensión: ∅=A log r+B r^2 log r+C〖 r〗^2+D (A,B,C,D se determinan con las condiciones de contorno). Es la solución a la Ecuacion diferencial de equilibrio y de compatibilidad.

Componentes de tensión:

σ_r=1/r*(∂∅)/∂r ,σ_θ=(∂^2∅)/(∂r^2 ) ,τ_rθ=0

σ_r=A/r^2 +2*B*log r+B+2*C

σ_θ=-A/r^2 +2*B*log r+3*B+2*C

CASOS PARTICULARES:

Placas con Orificios (Tuberias): B=0

para r=r_1,〖 σ〗_r=〖P 〗_1

para r=r_2,〖 σ〗_r=〖P 〗_2

r:punto de evaluacion

A=(〖r_1〗^2*〖r_2〗^2)/(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 )(P_2-P_1)

2C=(〖r_1〗^2*P_1-〖r_2〗^2*P_2)/(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 )

σ_r=(〖r_1〗^2*〖r_2〗^2)/(r^2*(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 ) )*(P_2-P_1 )+(〖r_1〗^2*P_1-〖r_2〗^2*P_2)/(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 )

σ_θ=-(〖r_1〗^2*〖r_2〗^2)/(r^2*(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 ) )*(P_2-P_1 )+(〖r_1〗^2*P_1-〖r_2〗^2*P_2)/(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 )

Placas con orificio de pared delgada y Ho. Pretensado.

R^2=L^2+〖(R-ex)〗^2 (este valor es el r promedio)

r_1=r-e/2

r_2=r+e/2

P=-q*R

σ_θ=-(〖r_1〗^2*〖r_2〗^2)/(r^2*(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 ) )*(P_2-P_1 )+(〖r_1〗^2*P_1-〖r_2〗^2*P_2)/(〖r_2〗^2 〖〖-r〗_1〗^2 )

σ_θ=F/A pero A=espesor "e"

F=σ_θ*e

Donde: R: Radio de la curva del clave del Ho. Pretensado

P: Presión de Tensión

Aplicación en túneles

P_2=γ*z

Donde: γ : Peso específico del suelo

z: profundidad a partir de la superficie

σ_r=P_2*(〖r_1〗^2/r^2 -1)

σ_θ=-P_2*(〖r_1〗^2/r^2 +1)

Donde: r : radio medido hasta el punto de análisis

σ_θ:Presion de contacto entre elementos (debe ser < al del material para q sea estable)

σ_r: Tensiones radiales

Flexión simple en barras curvas

N=(b^2-a^2 )^2-4*a^2*b^2*(log⁡〖b/a〗 )^2

σ_r=(-4*M)/N*((a^2*b^2)/r^2 *log⁡〖b/a〗+b^2*log r/b+a^2*log a/r)

σ_θ=(-4*M)/N*(-(a^2*b^2)/r^2 *log⁡〖b/a〗+b^2*log r/b+a^2*log a/r+b^2-a^2 )

Bóvedas (Por superposición de efectos:( túneles + flexión simple en barras curvas)

P_2=γ*z

Donde: γ : Peso específico del suelo

z: profundidad a partir de la superficie

σ_r=P_2*(〖r_1〗^2/r^2 -1)+(-4*M)/N*((a^2*b^2)/r^2 *log⁡〖b/a〗+b^2*log r/b+a^2*log a/r)

σ_θ=-P_2*(〖r_1〗^2/r^2 +1)+(-4*M)/N*(-(a^2*b^2)/r^2 *log⁡〖b/a〗+b^2*log

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