Tipos De Discontinuidad Y Continuidad

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto || Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: ||1. Que el punto x = a tenga imagen.|| ||

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. || ||

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto. ||

|| EJEMPLO; Estudiar la continuidad de en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2. || f(2)= 4 ||| 2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales. ||

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite || ||En la gráfica podemos comprobar que es continua.

Existen diferentes Tipos de Funciones Discontinuas tales como:

1.Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

Ejemplo. La función es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable

2.Discontinuidad inevitable o de primera especie.

Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo. a) la función signo en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues

y el salto es 1-(-1)=2.

b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.

3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.

Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

Ejemplo. tiene una discontinuidad esencial en 0.

es decir no existen ni los límites laterales pues “oscilan entre 1 y -1”

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