Trabajo Colaborativo 2

Trabajo Colaborativo N° 2

Tutor:

LUIS GERMAN HUERFANO LADINO

Grupo:

100408_12

Integrantes:

LIDA YALILE VALLEJO ALFONSO

OMAR JESUS HERAZO

RICARDO ANTONIO CUADRO FAJARDO

JOSE GREGORIO APONTE

Código: 88176888

BLADIMIRO PEREZ MARTINEZ

Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Cead Simón Bolívar.

Cartagena de Indias D, T y C, Agosto 7 del 2010.

INTRODUCCION

En el desarrollo de este trabajo apreciaremos ejercicios planteados por nuestro tuto y director de grupo, basados en los temas de la unidad 2 la cual hace referencia y explicación de temas como: Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.

Para resolver los ejercicios utilizamos métodos como: la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa y otros temas tales como: ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta, ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.

Estos ejercicios se realizaron con la masiva participación de todos los integrantes de este grupo colaborativo, mostrando dinamismo y armonía.

OBJETIVOS

Los objetivos propuestos son alcanzar los conocimientos básicos en esta área de las matemáticas que nos servirán de base para afrontar este proceso de aprendizaje y para lo sucesivo de nuestras vidas en el campo profesional y personal.

Dotarnos de las herramientas provenientes de las matemáticas, en este caso del algebra lineal, con la intención de utilizarlas en la exigencia actual en campos de la ciencia, la tecnología y en nuestra vida cotidiana.

DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS

Punto.1.1 Utilice el método de eliminación de gauss -Jordán para encontrar todas las soluciones si existen de los siguientes sistemas lineales.

[pic] = Matriz ampliada [pic] [pic]

f3=4f2+5f3

[pic]f2=-5f1+3f2 [pic]

[pic]f3’’23f2+f3 [pic]f3’’=1/108 [pic]

f2’=7f3+f1

[pic] f1=4f2+f1 [pic] 1/3 f1 [pic]

De la última matriz escalonada, se tiene:

[pic]

Punto.1.2

[pic]

[pic]

La Matriz ampliada: [pic][pic][pic][pic]

nota: es una matriz que no es cuadrática por lo tanto da una variable libre.

F2-5f1+3f2

[pic] Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones

[pic]

De la segunda ecuación se despeja (y) es decir

En casos particulares si (p=1, m=1, Z= 1, w=1)

y = 105 + 32-26 = 111

y= 111

Punto 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa

(utilice el método que prefiera para hallar A-1 ).

x –y -7z=1

5x -8y -2z =5

-5x+y+z=- 5

f´ = 4f2+5 f3

f2= -3 f2+5f1

f2´=23f2 +9f3

1/694 f3’’

f2´´=f2+29+f3’’’

1/9f2’’

[= 1/3f1’

Punto 3. Encuentre las ecuaciones simétricas y para simétricas de la recta que :

3.1 contiene a los puntos P = (3,-1,9) y Q = (-1,5 - 3)

3.2 Contiene a P = (5,3,-7) y es paralela a la recta

x= X1+t(X2-X1) nota: al despejar (t) y definir x2-x1=a, Y2-y1=b y Y1=+t(Y2-Y1) (Z2-Z1) se encuentran las ecuaciones simétricas.

Z= Z1+t(Z2-Z1)

P= (-5, 1,1) Q= (-1, 5,-3)

X= -5+1(-1-(5))= -5+4t

Y= 1+t(5-1)= 1+4t

Z= 1+t(-3-1)=1-4t

X2-X1 =a (-1-5)=-6

Y2-Y1 = b (5-1)= 4 t

Z2-Z1= (-3-1)=4

3.2. Contiene a P= (5,3,-7) y es paralela a la recta (x-9)/6=(y+3)/(-4)=(z+9)/8

a=6, b= -3, c= 2

x= 5 + 6t

y= 3 – 3t

z= -7 +2t

x - 5 = y – 3 = z +7

6 -3 2

Punto 4. Encuentre la ecuación general del plano que contiene los puntos

P = (- 8, 4,1) y Q = (- 1, - 8 -3) y R= (-3,-8,-3)

Solución:

PQ=

PQ = (-1-(-8)) i + (-8-4)j +(-3-1)k

PQ= 7i - 12j - 4k

QR = * PQ

[pic] = i [pic] -j [pic] + k [pic] =

i = (-24 +24) –j (14-8) +k (42-24)

= 0i - 6j + 18 k

[pic]

[pic]

6y+18z+6=0

[pic] Ecuación del plano.

4.2 Contiene al punto P =(-1,-8,-3) y tiene como vector normal a

[pic]

a(x-xo) + b(y-yo) + c (z-zo)=0

-3(x+1) + 2(y+8) -5 (z+3)=0

-3x-3+2y+16-5z-15=0

-3x + 2y - 5z = 2

Punto 5.

Vamos a encontrar todos los puntos de intersección de los planos:

X-3y-8z=10 :-5x-7y-8z=2

]: Tenemos → 1i-3j-8k y de [pic]= -5i-7j-8k.

Ahora veamos si son o no paralelas.

[pic]x[pic]=[pic] = i [pic] -j [pic] +k [pic]

I=24-(-56) –j=-8-(-40)+k-7-(+15)

80i+52j+22k[pic]0i+0j+0k

Al no ser paralelos se interceptan entonces procederemos a hallar los puntos de intersección en los planos. Esta es la matriz ampliada:

[pic] [pic] [pic]+5[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

Luego de realizado el proceso de reducción, la ecuación resultante es:

X+[pic]Z=[pic]

Y+[pic]z =[pic] , notamos que z es la variable libre, entonces despejamos x y y.

x=[pic] [pic] [pic] → x= [pic]

y=[pic] - [pic](1)→y=[pic] z=1

Los puntos de intersección en el plano son:

P=[pic][pic] Los puntos serian: [pic]

Remplazando estos valores en la ecuación del plano podemos comprobar, así:

: X-3y-8z=10

: [pic]=10

[pic]-[pic]-8 = 10

[pic]-8=10.

[pic]=10

De la misma forma podemos comprobar la otra ecuación, así: [pic] :-5x-7y-8z=2

Remplazamos los valores:

-5x[pic]-7x[pic]-8=2

...