VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN

¿Qué entiendes por valor medio de una función?

Cuando nos enfrentamos en la vida cotidiana a problemas con frecuencia se realizan varias mediciones en condiciones semejantes y calcular luego el promedio o media con la idea de resumir los datos. Existen muchos tipos útiles de promedios, el más corriente es la media aritmética, que en el curso de estadística usamos y tenemos conocimiento de su aplicación, y la definimos de la siguiente manera:

El promedio de un conjunto de números dados, se cálculo yprom =(y1+y2+y3+...yn)/n , este sería el caso elemental del promedio pero que pasaría si requerimos calcular el valor promedio de una función f(x) en el intervalo [a,b] o de cualquiera otra función independientemente de que sea positiva o negativa y que sea continua, en este caso contamos con el valor medio de una función que se define de la siguiente manera:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo definimos A(f), como el valor medio de f en [a,b] tal que:

A(f) = 1/(b-a)

Al valor de f( c ) se le denomina valor medio de la función f(x) en el intervalo [a,b].

Cuando F es no negativa, la interpretacion geometria es sencilla ya que en la expresion

(b-a)A(f) = establece que el rectangulo de altura A(f) y base [a,b] tiene la misma área que el conjunto de ordenadas de f sobre [a,b] como se muestra en la siguiente figura

La expresión anterior es una extensión del concepto de media aritmética, para demostrarlo consideremos lo siguiente:

Sea f una función constante en cada uno de los subintervalo [a,b] que se obtuvieron a partir de dividirlo en n partes iguales, y en particular, sea xk = a+k(b-a) / n para k = 0,1,2,3,…..,n y supongamos que f(x) = F(xk) si xk-1 < x < xk entonces xk – xk-1 = (b-a)/n resultaría que

Ecuación 1

De lo anterior podemos concluir que el promedio de A(f) coincide con la media aritmética de los valores f(x1), f(x2),… f(xn), tomados en los intervalos en lo que ,a función es constante.

Para ejemplificar el concepto planteamos el siguiente problema:

Suponga que en un bosque se inicio un programa de rescate de pinos la población de actual es de 3 millones de árboles se espera que dentro de t años el bosque puede ser reforestado mediante un crecimiento exponencial dado por la función p(t)  e0,03t.

Los expertos esperan rescatar el bosque en 10 años para que el proyecto sea apoyado requieren planear en base a un rescate promedio en el bosque en los próximos 10 años.

Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio en función del tiempo de P(t) desde t = 0 hasta t = 10

dt = = =

Valor promedio = 13.5 millones de árboles en 10 años

Conclusión

Como definimos anteriormente en la ecuación 1,

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