VARIABLE EXPONENCIAL y PROCESOS DE POISSON: Ejercicios

VARIABLE EXPONENCIAL y PROCESOS DE POISSON: Ejercicios

Variable exponencial

1. El tiempo T requerido para reparar una máquina es una variable aleatoria (v.a.) con exponencialmente distribuida con media 1/2 (horas.)

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación supere la media hora?.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación requiera al menos 12 horas y media dado que su duración supera las 12 horas?.

1. Considerar  una oficina de correos con dos ventanillas. Tres personas A, B y C entran simultáneamente. A y B son atendidos, y C espera hasta que bien A o B salga para poder realizar su gestión. ¿Cuál es la probabilidad de que A esté todavía en la oficina de correos después de que las otras dos personas se hayan ido cuando:

1. el tiempo de servicio en cada ventanilla es exactamente ( no aleatorio) de 10 minutos?.
2. el tiempo de servicio es i con probabilidad 1/3, i =1,2,3?.
3. el tiempo de servicio es exponencial con media 1/λ?.

3. Supongamos que X representa la cantidad de tiempo que una persona emplea en un banco, está exponencialmente distribuida con media 10:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente emplee más de 15 minutos en el banco?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente emplee más de 15 minutos, si ya ha empleado 10?

4. Una oficina de correos dispone de dos oficinistas. El tiempo de servicio a un cliente está distribuido con media 1/λ. Si un nuevo cliente C entra en la oficina, y en ese momento otros dos cliente, A y B, están siendo atendidos, ¿cuál es la probabilidad de que C abandone la oficina el último?

5. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una bombilla está exponencialmente distribuida con media 10. Supongamos que una persona entra en una habitación donde hay una bombilla encendida.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la persona desea trabajar 5 horas?
2. ¿Y si la distribución no hubiera sido exponencial?

6. Supongamos que un equipo de alta fidelidad consta de dos partes principales: el amplificador y el módulo central. Si la vida media de ambas partes sigue una distribución exponencial con medias 1000 y 500 horas respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que el fallo del equipo se deba al módulo central?

1. Sea X una v.a. representando la duración de una llamada de teléfono. Supongamos que sigue una distribución exponencial con valor esperado 25 minutos. Calcular la probabilidad de, si llevamos 30 minutos, hablemos en total más de 50 minutos.

1. El tiempo de vida de una radio está exponencialmente distribuida con una media de diez años.  Si Juan compra una radio que tiene diez años, ¿Cuál es la probabilidad de que siga funcionando durante otros diez años más?.

1.  Dos personas N y M entran a una barbería simultáneamente, N para un afeitado y M para un corte de pelo. Si la cantidad de tiempo para realizar un corte de pelo (afeitado) está exponencialmente distribuida con media 20 (15) minutos, y si N y M son atendidos inmediatamente, ¿Cuál es la probabilidad de que M termine antes que N?.

1.  En un cierto sistema, un cliente debe ser atendido primero por el servidor 1 y después por el servidor 2. El tiempo de servicio del servidor i es exponencial con parámetro λi, i=1,2. Al llegar un cliente si encuentra ocupado el servidor 1 espera en la cola para dicho servidor. Hasta que no termina de atenderle el servidor 1, o bien un cliente pasa a ser atendido por el servidor 2 si está libre o bien permanece con el servidor 1 ( bloqueando a cualquier otro cliente que está en la cola) hasta que el servidor 2 queda libre. Los clientes salen del sistema después de terminar de ser atendidos por el servidor 2. Suponer que un cliente A llega y hay otro cliente B en el sistema que está siendo atendido por el servidor 1. ¿Cuál es el tiempo total esperado que el cliente A empleará en el sistema?.

1.  En el ejercicio anterior, el cliente A encuentra dos clientes en el sistema, uno está siendo atendido por el servidor 1 y otro por el servidor 2. ¿Cuál es el tiempo esperado que el cliente A empleará en el sistema?.

1. Un trabajo de procesamiento de datos se compone de tres fases separadas. Cada fase tiene una distribución exponencial independiente.. El tiempo medio de las fases es 1/λ1, 1/λ2  y 1/λ3, respectivamente.

1. Determinar el valor esperado del tiempo total necesario para el procesamiento.
2. Suponer que la segunda fase solo es necesaria para un porcentaje α de trabajos. Determinar el valor esperado del tiempo total necesario para el procesamiento de un trabajo que llegue al sistema.

1. Los tiempos de vida del perro y el gato de la persona A son v.a. exp. indep. con parámetros λp y λg, respectivamente. Una de las mascotas muere. Encontrar el tiempo de vida adicional esperado de la otra mascota.

1. Un doctor tiene dos pacientes, uno a las 13:00 y otro a las 13:30. El tiempo dedicado a cada paciente son v.a. exp. indep. con media 30 minutos. Asumiendo que los dos pacientes llegan a tiempo, encontrar la cantidad esperada de tiempo que el paciente de las 13:30 empleará en la consulta del doctor.

1. Hay tres trabajos y un único trabajador que trabaja primero en el trabajo 1, después en el trabajo 2, y finalmente en el trabajo 3. La cantidad de tiempo que emplea en cada trabajo son v.a. exp. indep. con media 1. Sea Ci el tiempo en el cual el trabajo i se termina, i=1,2,3, y sea [pic 1] la suma de estos tiempos. Encontrar (a) E[X], (b) Var(X).

1. Un sistema  tiene dos componentes, A y B. Los tiempos de operación antes de fallar de las componentes son exponenciales e independientes, con parámetro 2 para A y 3 para B. El sistema falla cuando falla alguno de los componentes:

1. Calcular la esperanza del tiempo de operación de la componente A. Lo mismo para B.
2. Calcular la esperanza del tiempo de operación del sistema.
3. Calcular la probabilidad de que el sistema falle a causa de la componente A.
4. Supongamos que la componente A falla primero. Calcular la esperanza del tiempo de operación restante para la componente B.

[pic 2]

Procesos de Poisson

1. Los coches cruzan por un cierto punto de una autopista siguiendo un proceso de Poisson con parámetro λ=3 por minuto. Si una persona corre a ciegas por la autopista, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que salga ilesa si la cantidad de tiempo que le cuesta atravesar la carretera es s segundos? (Suponer que si la persona está en la autopista cuando le sobrepasa un coche, saldrá herida). Hacerlo para s=2,5,10,20.

1. Suponer que en el ejercicio anterior, la persona es lo suficientemente ágil para escapar de un único coche, pero si se encuentra con dos o más coches mientras intenta recorrer la carretera, entonces saldrá herida. ¿Cuál es la probabilidad de que salga ilesa si le cuesta s segundos atravesarla?. Hacerlo para s=2,5,10,20.

1. Dos individuos, A y B, ambos requieren un transplante de riñón. Si no reciben un nuevo riñón, A morirá después de un tiempo exponencial con parámetro μA, y B después de un tiempo exponencial con parámetro μB. Riñones para transplantes llegan siguiendo un proceso de Poisson con parámetro λ. Se ha decidido que el primer riñón será para A ( o para B si B vive y A no) y el siguiente para B ( si todavía vive).

1. ¿Cuál es la probabilidad de que A obtenga un riñón?.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que B obtenga un riñón?.

1. Los desperfectos que se producen en un cable submarino siguen un proceso de Poisson con frecuencia λ=0.1 por km.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se produzcan desperfectos en los primeros dos km.s?        
2. b)  conocido de que no hay desperfectos en los dos primeros km.s, ¿qué probabilidad existe de que no haya tampoco desperfectos en el tercer km.?

1. Los clientes llegan a un establecimiento de acuerdo a un proceso de Poisson de frecuencia λ=4 por hora. Dado que el establecimiento abre a las 9:00: ¿cuál es la probabilidad de que exactamente haya llegado un cliente para las 9:30 y un total de cinco para las 11:30?

1. Un emisor emite partículas de acuerdo a un proceso de Poisson con frecuencia λ=2 por minuto:

1. ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una partícula sea emitida en el intervalo entre los minutos 3 y 5?
2. ¿cuál es la probabilidad de que la primera partícula aparezca en algún momento después del tercer minuto pero antes del quinto minuto?
3. ¿cuál es la probabilidad de que el momento en el que se emita la primera partícula sea después del tercer minuto?

1. Suponiendo que la tasa de nacimientos en una población es un proceso de Poisson con λ=500 nacimientos por año:

1. calcular la probabilidad de que en el tercer mes hayan ocurrido como mucho 150 nacimientos.
2. calcular la probabilidad de que para el tercer mes haya como mucho 150 nacimientos y en los siguientes 6 meses como poco 100 nacimientos.

1. Supongamos que la gente emigra a un territorio siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia λ=1 por día.

1. ¿cuál es el tiempo esperado hasta que lleguen 10 inmigrantes?
2. ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo entre el décimo y el undécimo inmigrante exceda en dos días?

1. En un equipamiento de 3 piezas, al fallar la primera pieza entra en funcionamiento la segunda y si ésta fallase, entraría en servicio la tercera. Suponemos el tiempo de vida de cada pieza distribuido exponencialmente, siendo de 5000 horas el valor esperado. Si el equipamiento tuviera infinitas piezas de recambio, tenemos un proceso de Poisson reconociendo los fallos del sistema.

1. ¿Para cuándo esperamos que se sustituya la tercera pieza que pongamos?
2. ¿Qué probabilidad tenemos de que tanto la primera como la segunda pieza duren 5000 horas cada una?
3. ¿Qué probabilidad tenemos de que el tercer fallo acontezca como poco después de haber transcurrido 15000 horas?

1. Supongamos que los clientes llegan a un barco siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia 1 por hora, y éstos son clasificados como hombre o mujer con probabilidad 1/2. Si en 10 horas han llegado 10 hombres, ¿cuál es el número esperado de mujeres en esas 10 horas?

1. Supongamos que a un país llegan inmigrantes siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia 10 por semana. Si cada inmigrante es inglés con probabilidad 1/12, ¿cuál es la probabilidad de que no inmigre ningún inglés a ese país durante el mes de febrero?

1. Un jugador de baloncesto bota el balón siguiendo un Proceso de Poisson con parámetro λ = 12 botes por minuto:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el minuto 10 haya realizado como mucho 100 botes?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el minuto 10 haya realizado como mucho 100 botes y en los siguientes 5 minutos como poco 52 botes?
3. ¿Cuándo esperamos que realice el  bote número 16?
4. Dado que se han realizado 4 botes en los primeros 6 minutos, ¿cuántos botes esperamos que se hayan realizado entre el minuto 7 y el minuto 9?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen 8 botes entre el minuto 8 y el minuto 12?
6. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre el bote 14 y el bote 15 exceda en 2 minutos?
7. Si entre el bote 18 y el 19 han transcurrido 30 segundos, ¿cuánto tiempo esperamos que transcurra entre el bote 19 y el 20?
8. Si cada bote que se realiza se hace con probabilidad 2/3 con la mano izquierda y con probabilidad 1/3 con la mano derecha, entonces:
9. ¿Con qué probabilidad se realizarán 20 botes con la mano derecha entre los minutos 4 y 7?
10. Sabiendo que se han realizado 8 botes con la mano derecha entre el minuto 7 y el 9, ¿cuál es el número total de botes esperados que se realicen con ambas manos entre esos minutos?

1. Un empleado se encuentra supervisando los elementos que pasan por una cinta transportadora. Por dicha cinta pasan bolígrafos siguiendo un proceso de Poisson con parámetro λ1= 60 bolígrafos por minuto. También pasan lápices siguiendo un proceso de Poisson con parámetro λ2=70 lápices por minuto.

1. Si en un momento aleatorio el empleado va a tomar café y el tiempo que tarda en tomárselo está exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que pase un lápiz antes de que acabe de tomarse el café? ¿Y de que pasen dos lápices?
2. Si un segundo empleado se dirige a tomar café cuando el primero lleva ya un minuto tomándolo, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo empleado acabe el café antes que el primero? Razona tu respuesta, suponiendo que el tiempo que tarda el segundo empleado en tomarse el café está también exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos.
3. Si cada bolígrafo que pasa por la cinta es con probabilidad 1/4 rojo y con probabilidad 3/4 azul, entonces:
4. ¿Con qué probabilidad entre el primer y el  tercer minuto habrán pasado como mucho 1000 bolígrafos rojos?
5. ¿Cuándo esperamos que aparezca el octavo bolígrafo azul?
6. Si entre el paso del décimo y undécimo bolígrafo azul han transucrrido 30 segundos, ¿cuánto tiempo esperamos que transcurra entre el paso de los bolígrafos azules 18 y 19?
7. Sabiendo que han pasado por la cinta 8 bolígrafos azules entre el minuto 2 y el minuto 3, ¿con qué probabilidad van a pasar 9 bolígrafos rojos entre esos mismos minutos?
8. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre el primer y el segundo bolígrafos rojos sea mayor que el que transcurre entre el tercer y cuarto bolígrafos rojos?

1. Dados {Ni(t), t≥0} procesos de Poisson independientes con parámetros λi,i=1,2, de tal forma que {N(t), t≥0} es un proceso de Poisson con parámetro λ1+λ2 donde N(t)=N1(t)+N2(t). ¿Cuál es la probabilidad de que el primer suceso del proceso combinado proceda del proceso N1?

1. Una centralita telefónica tiene s líneas. Las llamadas telefónicas llegan según un proceso de Poisson con parámetro λ, y la duración de las llamadas sigue una distribución exponencial de parámetro µ. Si la centralita está ocupada, se envía un mensaje de ocupado. Todas las líneas están ocupadas en este momento. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue una nueva llamada mientras el sistema continua ocupado?.

1. Ciertos sucesos ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro λ=2 por hora.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran sucesos entre las 20:00 y las 21:00 horas?.
2. Comenzando al mediodía, ¿cuál es el tiempo esperado para que el cuarto suceso ocurra?.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más sucesos ocurran entre las 18:00 y las 20:00?.

1. Ciertos pulsos llegan a un contador Geiger de acuerdo con un proceso de Poisson con una frecuencia de tres llegadas por minuto. Cada partícula que llega al contador tiene una probabilidad 2/3 de ser registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados durante t minutos.

1. P(X(t)=0)=?.
2. E[X(t)]=?.

1. Los vehículos pasan por un punto de una autopista con una frecuencia de Poisson de uno por minuto. Si el cinco por ciento de vehículos en carretera son furgonetas, entonces

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una furgoneta pase durante una hora?
2. Dado que han pasado diez furgonetas en una hora, ¿Cuál es el número esperado de vehículos que han pasado en el mismo tiempo?.

21. Los clientes que entran a una tienda siguiendo un proceso de Poisson de λ=10 por hora, independientemente uno de otro, deciden comprar algo con probabilidad 0.3 y salen sin comprar nada con probabilidad 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que durante las primeras dos horas 9 personas entren en la tienda, y de que 3 de éstas compren algo y 6 no?

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