Vectores Algebra vectorial

Unidad 4

Algebra vectorial

Un vector es una magnitud física que se define mediante un punto de origen, un módulo, una dirección y un sentido, esto es, una magnitud física de algún objeto que no dependa sólo de un número (masa, velocidad, etc.) para su correcta definición.

Ejemplo de un vector.

La distancia final entre dos aviones que parten de un aeropuerto no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades. Si éstas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre estos, podrá ser, entre otras posibilidades: 

• De 10 km, si los dos aviones llevan la misma dirección y mismo sentido. 
• De 70 km, si salen en la misma dirección y sentidos contrarios. 
• De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.

 
Como se puede ver, la distancia entre los dos aviones, depende también de otras cualidades, además de la velocidad. Es necesario utilizar un vector, que además de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su dirección y sentido; el plano cartesiano sirve como herramienta esencial para la obtención de dicho resultado direccional.

Para ordenar y distinguir un vector “A” se definirá como [pic 1] (con una flecha que indica una magnitud física vectorial.)

Concepto de vectores en 2 y 3 dimensiones.

Los vectores se pueden representar dentro de varias dimensiones espaciales, esto es, una dimensión, dos, tres o más, dentro de la mecánica clásica sólo usaremos las primeras tres dimensiones.

-Vectores de 2 dimensiones.

Los vectores en 2 dimensiones o R2 se pueden representar dentro del plano cartesiano clásico, con las variables X y Y, estas representarán las magnitudes vectoriales dentro de los cuadrantes geométricos planos.

[pic 2]

Donde [pic 3]es igual a (-2, 3) en el plano cartesiano.

-Vectores de 3 dimensiones.

Sabemos que los vectores tienen módulo o magnitud y dirección. Un vector ubicado en 3 dimensiones (R3) puede ser expresado como coordenadas o con una ecuación vectorial donde intervienen unos vectores muy especiales: i, j y k. denominados vectores unitarios.

El uso de estos vectores unitarios hace que las operaciones vectoriales como la suma, resta e inclusive producto sean mucho más fácil.

[pic 4]

Los vectores pueden expresarse en función de coordenadas, de la siguiente manera: [pic 5]= (a, b, c)  o como: [pic 6]= (a[pic 7], b[pic 8], c[pic 9]) donde[pic 10], [pic 11] y[pic 12], son vectores denominados, vectores unitarios que indican la dirección de los ejes “x”, “y”, “z” respectivamente.

Operaciones con vectores y sus representaciones

1. Modulo o magnitud

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. El origen es también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

[pic 13]

1. Suma

Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente.  Supongamos que tenemos los vectores A⃗ A→ = (4, 3), B⃗ B→ = (2, 5) .

Para conocer el vector suma A+B→A+B→ sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y:

A+B→A+B→ = (4+2, 3+5) = (6, 8)

Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A⃗ A→ = (-1, 4) , B⃗ B→ = (3, 6) , C⃗ C→ = (-2, -3) y D⃗ D→ = (5, 5):

A+B+C+D→A+B+C+D→ = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)

Para sumar vectores gráficamente dos vectores solemos utilizar la llamada regla del paralelogramo que consiste en trazar por el extremo de cada vector una paralela al otro. El vector resultante de la suma tiene su origen en el origen de los vectores y su extremo en el punto en el que se cruzan las dos paralelas que hemos trazado.

1. Resta

Para restar dos vectores libres vector y vector se suma vector con el opuesto de vector. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

A= (a1, a2)  B= (b1, b2)

A-B= (a1-b1, a2-b2)

A= (-2, 5) B= (3, -1)   A-B =  (-2-3, 5-(-1)) = (-5, 6)

1. Multiplicación por un escalar

La multiplicación por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.

Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.

Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:

V = (x, y)

k V =  k (x, y) = (kx, ky)

Ejemplo:

V = (2,1) k = 2

k V = 2 (2, 1) = (4, 2)

1. Producto punto

El Producto punto de dos vectores será un número escalar y se hará de la siguiente manera:

Teniendo los vectores U = (X1, Y1, Z1) y V = (X2, Y2, Z2)

El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores. Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.  

1. Producto cruz

El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer línea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector  y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.

1. Vector unitario

La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar que el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector que aparece en un espacio euclídeo (El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente)

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