Algebra Lieal Vectores

4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades.

Espacio vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

i. Si x V y Y V, entonces x+y V

ii. Para todo x, y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

iii. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x

(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

iv. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

v. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x

(Ley conmutativa de la suma de vectores)

vi. Si x V y a es un escalar, entonces a x V

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

vii. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x + y (primera ley distributiva)

viii. Si x V y y son escalares, entonces ( + )x = x+ x (Segunda ley distributiva)

ix. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

x. Para cada vector x V, 1x= x

EJEMPLO

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,..., n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. Según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

0= y –x= , se ve que los axiomas ii) ax) se obtienen de la

Definición de matrices.

4.2 Definición de un subespacio vectorial y sus propiedades

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:

1. 0єW

2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.

3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:

1. 0єW.

2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UÇW es también subespacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son subespacios, de donde 0ÎUÇW. Supongamos ahora que u, vÎUÇW. Entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A (au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvÎW. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y, z) ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial

Los vectores ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene .

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2,…, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2,…, cn no todos ceros tales que .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para algún escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que

c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea,

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.

BASE Un conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define

Puesto que los

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