Algebra De Vectores

Para estudiar las aplicaciones con vectores, es importante comprender algebraica y geométricamente la naturaleza de un vector. Se inicia recordando los números reales R en la recta numérica para poder trabajar con los vectores en el plano R^2; posteriormente se estudian los vectores en el espacio R^3, considerando una tercera componente. Se concluye esta unidad con el estudio de rectas y planos en tres dimensiones y algunas aplicaciones.

1.1 INTRODUCCIÓN.

Es importante mencionar que para un buen desempeño en el curso de Cálculo Vectorial, es importante recordar algunas fórmulas de las competencias adquiridas previamente como son de Álgebra, Trigonometría, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, a continuación se presenta un resumen de estas.

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA:

LEYES DE LOS EXPONENTES LEYES DE EXPONENTES RACIONALES Y RADICALES

a^m a^n=a^(m+n) a^0=1, ∀ a≠0 (a)^□(m/n)=(a^m )^□(1/n)=(a^□(1/n) )^m

a^m/a^n =a^(m-n) [a/b]^n=a^n/b^n (a)^□(m/n)=√(n&a^m )=(√(n&a))^m √(n&a/b)= √(n&a)/√(n&b)

(a^m )^n=a^mn (a b)^m=a^m b^m √(n&a b)= √(n&a) √(n&b)

a^(-n)=1/a^n 1/a^(-n) =a^n √(n&c^n∙d)=√(n&c^n )∙√(n&d)=c∙√(n&d)

ERRORES COMUNES Y VERDADES EN RADICALES

ERROR VERDAD

√(a^2+b^2 ) ≠a+b √(a^2 b^2 )=ab

√(a+b) ≠ √a+ √b √ab=√a √b

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática en su forma general se expresa por: ax^2+bx+c=0 ∀ a≠0, y sus raíces se calculan con la expresión:

x=(-b±√(2&b^2-4ac))/2a

PRODUCTOS NOTABLES:

Cuadrado de un binomio (a±b)^2=a^2±2ab+b^2

Cubo de un binomio (a±b)^3=a^3±3a^2 b+3ab^2±b^3

Producto de binomios conjugados (x+a)(x-a)=x^2-a^2

Producto de binomios con término común (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+(ab)

FACTORIZACIÓN:

Factor común: Se identifica al factor que existe en todos los términos del polinomio (factor común). (ab^2 x^2+a^2 bx)=(abx)(bx+a)

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

Factorización de polinomios que dan el cubo de un binomio. a^3±3a^2 b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

Factorización de una diferencia de cuadrados; expresan factores de binomios conjugados. x^2-a^2=(x+a)(x-a)

Trinomios de la forma x^2+mx+n, expresan factores con término común donde m=a+b y n=a b. x^2+mx+n=(x+a)(x+b)

Factorización por agrupación: se utiliza para polinomios, con términos pares y consiste en agrupar convenientemente los términos de dos en dos, o de tres en tres etc., tal que cada grupo admita un factor común. 2x^2¬¬+8y-4xy-4x=(2x^2-4x)+(8y-4xy)

=2x(x-2)-4y(x-2)=

2x^2¬¬+8y-4xy-4x=(x-2)(2x-4y)

FACTORIZACIÓN:

Trinomios de la forma 〖ax〗^2+bx+c=0, se busca dos números m,n; tal que m+n=b y m∙n=ac, una vez encontrados los dos números se sustituye el término bx por dos términos en x, cuyos coeficientes correspondan a los números encontrados. Finalmente se efectúa la factorización por agrupación. 6x^2-x-15=0

6x^2+9x-10x-15=0

(6x^2-10x)+(9x-15)=0

2x(3x-5)+3(3x-5)=0

6x^2-x-15=(3x-5)(2x+3) m+n=-1

m n=-90

m=9

n=-10

Factorización de una suma de cubos. a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2 )

Factorización de una diferencia de cubos. a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2 )

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

|a|={■( a si a es no negativo (a≥0)@-a si a es negativo (a<0) )┤

FÓRMULAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES:

Nombre Figura Fórmula Nombre Figura Fórmula

Rectángulo

A=b h Triángulo

A=(b h)/2

Círculo

A=πr^2

Circunferencia

=2πr Anillo circular

A=π(R-r)^2

Elipse

A=πab Sector circular

A=(r^2 θ)/2

s=rθ

Elipsoide

V=4/3 πab Esfera

V=4/3 πr^3

Cilindro circular

V=A_BASE h

V=(πr^2 )h Cono

V=〖□(1/3) A〗_BASE h

V=□(1/3) (πr^2 )h

TRIGONOMETRÍA:

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Teorema de Pitágoras

h^2=a^2+b^2

h=√(2&a^2+b^2 )

a=√(2&h^2-b^2 )

b=√(2&h^2-a^2 ) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sen θ=(cateto opuesto)/hipotenusa Sec θ=hipotenusa/(cateto adyacente)

Cos θ=(cateto adyacente)/hipotenusa Csc θ=hipotenusa/(cateto opuesto)

Tan θ=(cateto opuesto)/(cateto adyacente) Ctg θ=(cateto adyacente)/(cateto opuesto)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Se utilizan para calcular el valor de un ángulo, conociendo dos lados del triángulo rectángulo que lo contienen, las tres principales son:

θ=Arc Sen((cateto opuesto)/hipotenusa) θ=Arc Cos((cateto adyacente)/hipotenusa) θ=Arc Tan((cateto opuesto)/(cateto adyacente))

FACTORES DE CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

1 grado=π/180 radianes 1 radian=180/π grados

0°=0 rad 30°=π/6 rad 45°=π/4 rad 60°=π/3 rad 90°=π/2 rad 180°=π rad 360°=2π rad

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Sen θ Csc θ=1 Cos θ Sec θ=1 Tan θ Ctg θ=1 Tan θ=(Sen θ)/(Cos θ)

Ctg

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