Vivan Las Determinanates

Abstract. Determinants were developed very extensively until

matrices became popular in 1925, after which determinants were

regarded as a very small part of linear algebra. Some mathematicians

have actually urged that determinants should be abolished.

But determinants are a small but essential part of linear algebra.

Key words and phrases. Linear algebra, Determinants.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 15A15 15A18,

Secondary 15-03 01A27 01A50 01A55 01A60.

¡Vivan los determinantes! 27

borrado esta caracter´ıstica de mis propias versiones, porque nunca lo he

requerido.

En 1958, cuando era consultor matem´atico en la English Electric Company

(en Whetstone, Inglaterra), encontr´e a uno de los asistentes del

laboratorio de computaci´on perforando tarjetas para un ingeniero. Los

datos consist´ıan de muchas matrices cuadradas de orden 6, cada una

de la forma A − λI para varios valores de λ. El ingeniero me cont´o

que pretend´ıa usarlas como subrutinas en la Biblioteca DEUCE (escrita

principalmente por James H. Wilkinson y sus colegas) para evaluar el

determinante de cada una de esas matrices, y que entonces ¡usar´ıa la

interpolaci´on inversa para hallar los valores de λ para los cuales el determinante

fuese cero! Le expliqu´e al ingeniero, con mucho tacto, que

exist´ıan mejores maneras de atacar el problema, y lo envi´e a subrutinas

de la biblioeca DEUCE para calcular valores propios.

La necesidad de los determinantes

En 1963 asist´ı a un conferencia sobre ´algebra lineal num´erica en el

Laboratorio Nacional de F´ısica de Inglaterra. Mi colega Charles G.

Broyden hizo un vehemente llamado para eliminar a los determinantes

del ´algebra lineal, y anunci´o que escribir´ıa un libro de texto sobre c´alculos

matriciales en el cual nunca mencionar´ıa a los determinantes. Yo le

respond´ı que los determinantes necesitaban aparecer como una parte

peque˜na pero esencial del ´algebra lineal, y que me parec´ıa que un texto

como el suyo requerir´ıa por lo menos media p´agina, en caracteres de

imprenta peque˜nos, sobre la teor´ıa de los determinantes. En efecto,

el texto de Broyden (1977) contiene un ap´endice de 3 p´aginas sobre

determinantes.

Para desarrollar la teor´ıa de los determinantes s´olo se necesita ´algebra

elemental, y mucho de ella la pueden entender y usar los estudiantes de

secundaria. La ´unica parte de la definici´on est´andar de un determinante

[Aitken (1939, p´ag. 131)] que puede dificultarse a un estudiante de

secundaria es la clasificaci´on como pares e impares de las permutaciones.

De hecho, esto no se demostr´o efectivamente sino hasta circa 1870, y en

Resumen. El desarrollo de la teor´ıa de los determinantes tuvo un

desarrollo muy intenso hasta que las matrices se popularizaron en

1925, despu´es de lo cual se consider´o que los determinantes solo

eran una parte muy peque˜na del ´algebra lineal. De hecho, algunos

matem´aticos han urgido su desaparici´on. Sin embargo, a´un siguen

siendo una peque˜na pero esencial parte del ´algebra lineal.

Los determinantes fueron usados en 1683 por el matem´atico japon´es

Takakasu Seki Kˆowa (1642–1708) para una construir una resolvente de

un sistema de ecuaciones polinomias (v´eanse Mikami (1913, p´ags. 191–

199;1977) y IMAGE 13 (octubre 1999, p´ag.8)). Por su parte, en 1693,

1Publicado en IMAGE30, abril de 2003, p´ags, 5–9. Traducido al espa˜nol por

V´ıctor S. Albis y publicado en Lecturas Matem´aticas con autorizaci´on del

...