Áreas Bajo La Curva

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

i. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

ii. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

iii. Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

iv. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad.

v. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo .

vi. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y (Figura 3). La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede obtener de la Ecuación 1, resultando:

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución , se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

Ecuación 2:

Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución existen tablas publicadas (Tabla 1) a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema: supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Denotando por X a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución . Si su distribución fuese la de una normal estándar podríamos utilizar la Tabla 1 para calcular la probabilidad que nos interesa. Como éste no es el caso, resultará entonces útil transformar esta característica según la Ecuación 2, y obtener la variable:

para poder utilizar dicha tabla. Así, la probabilidad que se desea calcular será:

Como el área total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que:

Esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida a partir de la Tabla 1, resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%.

De modo análogo, podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esté entre 60 y 100 Kg:

De la Figura 2, tomando a=-2 y b=2, podemos deducir que:

Por el ejemplo previo, se sabe que . Para la segunda probabilidad, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estándar no proporcionan el valor de para valores negativos de la variable. Sin embargo, haciendo uso de la simetría de la distribución normal, se tiene que:

Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%. Resulta interesante comprobar que se obtendría la misma conclusión recurriendo a la propiedad (iii) de la distribución normal.

No obstante, es fácil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que habitualmente nos encontramos

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