Aplicación de los logaritmos en la vida cotidiana

Aplicación de los logaritmos en la vida cotidiana

• En la banca: sirve para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2500 euros al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1977,12 euros de beneficio.

*Problema de interés compuesto: significa que tras cada periodo de tiempo el interés producido se suma al capital. La fórmula del interés compuesto es:

[pic 1]

Cf: capital final.

Ci: capital inicial.

r: rédito.

t: tiempo en años.

• Datos

Ci=2.500 euros  

Beneficio=1977,12 euros  

i=6%  

t=?

• Desarrollo

• El capital final que tendremos será el capital inicial más el beneficio:

• [pic 2]

• Rédito:

• [pic 3]

• Despejamos t de la fórmula tomando logaritmos:

• [pic 4]
•  [pic 5]
• [pic 6]

• Calculamos el valor de t, sustituyendo Cf, Ci y r en la fórmula:

• [pic 7]

• Solución

• Tendré que tenerlo invertido por 10 años.

• En la estadística: Generalmente se aplica en el crecimiento de la población. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

El crecimiento de un bosque viene dado por la función F(t)=A(1+i)^t donde F es la madera que habrá dentro de “t” años, “A” la madera actual e “i” la tasa de crecimiento anual. Si la tasa de crecimiento anual i=0.02 y se mantiene constante, calcula el tiempo que tardará en duplicarse la madera del bosque.

• Función y datos

• [pic 8]
• A=madera actual; F(t)=madera al cabo de t años; i=0.02 tasa de crecimiento anual.

• Desarrollo

•  Para que se duplique la madera F(t)=2A
• [pic 9]
• Tomamos los logaritmos para despejar t: [pic 10]
• [pic 11]

• Solución

• La madera del bosque tardará en duplicarse 35 años.

• En la medicina: Solo es aplicable en ciertos fenómenos tales como el resultado del experimento psicológico de Steinberg. También se aplica en la inmunología. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

¿En cuánto tiempo una determinada reacción alcanza los 40 mg en función de C(t)=400x(1/2)^t/8?

• Desarrollo

• [pic 12]
• [pic 13]

• Solución

• Lo alcanza a los 26.5 segundos.

• En la biología: es aplicado en los estudios de los efectos nutricionales de los organismos. Así como también en el cálculo del PH. También en la genética, donde se utiliza la estadística y la probabilidad para saber sobre lo que un hijo heredara de sus padres. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

¿Cuál es el pH de una solución de 0,0020 M de HCl?

• Desarrollo

• [pic 14]
• [pic 15]

•  Solución

• El pH de la solución es de 2,7.

• En la astronomía: para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cálculos de carácter logarítmico para determinar la brillantez y magnitud.  Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2,5. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

Calcular la magnitud conjunta del sistema 47 Tauri, cuyas dos componentes son de m1 = 4,9 y m2 = 7,4

        * Se denomina magnitud visual a la magnitud de una estrella estimada mediante el ojo humano. Éste es capaz de catalogar en orden de brillo y distinguir cuando dos estrellas tienen el mismo brillo o una estrella y una fuente artificial. Actualmente se utilizan los fotómetros que permiten medir magnitudes con mucha precisión. El brillo de un objeto celeste medido por un observador es la magnitud aparente. Si   no lleva ningún subíndice se asume que se trata de la magnitud visual.

• Desarrollo

• Se calculan sus brillos por 0.4 y se suman

• [pic 16]
• [pic 17]
• [pic 18]

• Se haya la magnitud conjunta de las dos estrellas:

[pic 19]

• Solución

• En un catálogo, se encuentra con magnitud 4,8.

• En la antropología: Los historiadores también lo usan cuando datan la antigüedad de los restos orgánicos por el método del C14. La datación por Carbono-14 es un procedimiento para determinar la edad de ciertos objetos arqueológicos que tengan un origen biológico con una antigüedad de hasta cerca de 60.000 años. Se utiliza para fechar cosas tales como: huesos, madera, fibras vegetales que fueron creadas en un pasado relativamente reciente por actividades humanas. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

Se ha encontrado un fósil con un 10% de C-14 en relación con una muestra viva, entonces el fósil tendría una antigüedad de aproximadamente 19150 años.

*La fórmula es la siguiente:[pic 20]

No: Es la cantidad de C-14 original del fósil (al morir). 

Nf:  Es la cantidad de C-14 final del fósil (al encontrarlo). 

T1/2: Es el periodo de semidesintegración del C-14, es constante. Nosotros utilizaremos 5.760 años. 

t: tiempo estimado de antigüedad del fósil. 

• Desarrollo

• [pic 21]

• Solución

• El fósil tiene 19.138 miles de años de antigüedad.

• En la escala de Richter: Fue desarrollada por Charles Richter con la colaboración de Beno Gutenberg en 1935, ambos investigadores del Instituto de Tecnología de California, con el propósito original de separar el gran número de terremotos pequeños de los menos frecuentes terremotos mayores observados en California en su tiempo. Ejemplo:

• Planteamiento del problema

Halla la magnitud que ocasionó un movimiento sísmico que duró 5 segundos y con una amplitud de 15 mm.

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