NOTAS DE GEOMATRIA EUCLIDIANA.

NOTAS DE GEOMATRIA EUCLIDIANA

Por  Manuel J. Salazar Jiménez PhD. Profesor Titular Instituto de Matemáticas U. de A.

Sistema deductivo moderno

A principios del siglo XX, con el desarrollo de la matemática formal, el discurso de Euclides se modificó notablemente, para ajustarlo a un sistema deductivo como tal. De manera muy esquemática, la estructura de un sistema deductivo  tiene los siguientes elementos básicos:

• Términos no definidos: Términos que deliberadamente se admiten sin definir. Este es el punto de mayor modificación, pues Euclides definió, de manera muy confusa, las nociones de punto, recta, plano y espacio. Hoy, estas nociones se admiten como nociones no definidas.
• Las definiciones: Todo nuevo término técnico del discurso debe ser definido explícitamente, caracterizarlo, de manera que se pueda distinguir de los otros términos, lo cual se hace por medio de los términos primitivos ó los términos ya definidos. Al aceptar las nociones no definidas, algunas definiciones de los Elementos de Euclides desaparecieron y otras se hicieron más precisas. Las nociones de punto, recta, plano y espacio, que Euclides trató de definir, modernamente se aceptan como nociones no definidas.
• Los axiomas o postulados: El conjunto de enunciados que se admiten sin demostración, se denominan axiomas o postulados. El matemático alemán, David Hilbert (1862-1943), modernizó los postulados de Euclides, dando a la Geometría Euclidiana una fundamentación estritamente axiomática.  Hilbert propuso 5 grupos de axiomas: I Axiomas de incidencia, II Axiomas de orden, III Axiomas de congruencia, IV Axiomas de paralelimo. V Axiomas de continuidad.

•  Los teoremas: Todos los enunciados que se pueden deducir de los  postulados se denomina teoremas del discurso. Como comúnmente se dice, un teorema es una verdad que necesita ser demostrada.

Propiedades del conjunto de axiomas

• Consistencia: Un conjunto de axiomas es consistente si mediante éstos no se implican contradicciones. Esta es la propiedad más importante de un conjunto de axiomas, sin esta propiedad el conjunto de axiomas no tiene validez.

• Independencia: Un conjunto de postulados se dice que es independiente si ninguno de los postulados puede deducirse de los otros. El quinto de los postulados de Euclides creó una gran polémica al considerar los matemáticos de la época que no era independiente y era posible deducirlo de los otros postulados. Esta pretendida deducción no fue lograda.
• Suficiencia: Todo resultado de la teoría se puede deducir de los axiomas-

La demostración de un teorema:

[pic 1]  : Signo de la implicación lógica. Si p y q son proposiciones el enunciado p implica  q  se escribe p [pic 2]q y se llama implicación.

Todo teorema es de la forma [pic 3]: p es la hipótesis  y  q es la conclusión o tesis. [pic 4]Significa que de p se puede concluir q

La proposición p[pic 5]q puede leerse de las siguientes formas:

• Si p entonces q.
• p es condición necesaria para q
• q solo si p.

Demostración: Una demostración es un proceso formal mediante el cual, a partir de unas hipótesis, mediante un razonamiento lógico correcto, se llega a la conclusión o tesis.

En el teorema “ las diagonales de un cuadrado son iguales”, se identifican la hipótesis y la tesis así:

Hipótesis: Sea ABCD un cuadrado y AC , BD sus diagonales.

Tesis: AC es igual a BD.

En la demostración de un teorema se parte de la hipótesis y mediante un razonamiento lógico correcto se llega a la tesis.

[pic 6]

[pic 7]  Leer cuidadosamente el enunciado del teorema.

• Identificar la hipótesis y la tesis:

La hipótesis o premisa es la condición conocida, bajo la cual se pide la validez de un supuesto. La tesis es lo que se va a demostrar.

• Conocer los fundamentos de la demostración:

Cuando se va a demostrar un teorema es muy importante identificar en forma precisa los conceptos no definidos, las definiciones, los axiomas y otros teoremas demostrados anteriormente en los cuales se pueda apoyar el discurso demostrativo.

• Elegir el método de demostración:                      

Luego de determinar la hipótesis y la tesis, se elige el método de demostración.

El método deductivo o analítico es, por excelencia, el método de las matemáticas. Este método parte de la hipótesis y mediante un razonamiento deductivo, ajustado a las reglas de la lógica, llega a la demostración de la tesis. Puede ser directo o indirecto. En el método deductivo directo se parte de la hipótesis hasta llegar a la tesis. En el método deductivo indirecto, se parte de la negación de la tesis hasta obtener una contradicción o la negación de la hipótesis. En ambos casos se concluye la tesis como se verá más adelante.

Nota importante: El concepto de verdad en matemáticas y en general en toda teoría científica, es un concepto constructivo, es decir, una proposición de una teoría matemática es verdadera si puede ser demostrada con base en los axiomas que  se han elegido. Una proposición verdadera en la geometría euclidiana, puede ser falsa en una de las geometrías no euclidianas.  

Algunos elementos de lógica

 Antes de continuar con los métodos de demostración, se introducirán algunos elementos de la lógica. Se trata de dar algunas nociones de los fundamentos de este importante, pues el cálculo proposicional es un sistema deductivo, y su estudio a profundidad no se agota en un semestre.

Una proposición es una expresión oración o frase que establece  un juicio completo y puede ser verdadera o falsa. Toda proposición de un sistema debe ser demostreada con base en los axiomas.

Ej 1: Si el triángulo ABC tiene dos lados iguales es isósceles.

Ej.2: Al cuerpo celeste que gira alrededor de un planeta se le denomina satélite.

A la lógica le compete establecer bajo qué condiciones una proposición puede ser considerada como una conclusión derivada de otras proposiciones, llamadas premisas. Las premisas pueden ser axiomas o postulados, nociones no definidas, definiciones o teoremas ya demostrados.

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