Ajuste Lineal

Supongamos que disponemos de la siguiente nube de puntos, que podra proceder de un

conjunto de observaciones o medidas extradas de un determinado experimento al anotar los

resultados obtenidos en distintos regmenes de tiempo:

f(0; 0; 1); (1; 1); (2; 3); (3; 4); (4; 7)g : (1)

Podemos admitir que las primeras componentes corresponden a los distintos momentos en que

se han producido las observaciones (los representaremos en el eje de abscisas) y las segundas a

los valores medidos en dichos momentos (los representaremos en el eje de ordenadas). Si pretendemos

ajustar una funcion que se adecue a esta nube de puntos podra parecer conveniente,

en un primer analisis visual, elegir una recta (vease la Figura 1). Pero >cual de entre todas las

posibles? Parece evidente que, dado que cualquiera que sea la recta elegida nunca podremos

conseguir que pase por todos los puntos de la nube (pues claramente no estan alineados), sea

cual sea nuestra eleccion estara siempre sujeta a error. Se trata, por consiguiente, de "minimizar

los da~nos" a la hora de establecer un criterio de seleccion, es decir: de entre todas las rectas

posibles, quedemonos con la unica que nos conduce a cometer el menor error posible.

La pregunta consiguiente es: >como podemos cuanticar el error que se comete en la aproximaci

on? Una forma estandar de hacerlo es a traves del llamado error cuadratico, que consiste

en lo siguiente:

Supongamos que hemos ajustado la nube de puntos mediante la recta x(t) = a + bt y

observemos cuanto nos hemos desviado en cada caso de los resultados empricos.

El valor predicho experimentalmente en t = 0 es x = 0;1, mientras que la recta predice

x(0) = a.

El valor predicho experimentalmente en t = 1 es x = 1, mientras que la recta predice

x(1) = a + b.

El valor predicho experimentalmente en t = 2 es x = 3, mientras que la recta predice

x(2) = a + 2b.

El valor predicho experimentalmente en t = 3 es x = 4, mientras que la recta predice

x(3) = a + 3b.

El valor predicho experimentalmente en t = 4 es x = 7, mientras que la recta predice

x(4) = a + 4b.

En denitiva, el error cometido en cada prediccion es la diferencia entre el valor predicho por

la recta de ajuste y el predicho experimentalmente:

ei = a + bti

...