Regresión Lineal o Ajuste Lineal Simple

Regresión Lineal o Ajuste Lineal Simple

En la práctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de variables, cuando se sabe que existe alguna relación inherente entre ellas. El aspecto estadístico del problema consiste en lograr la mejor estimación de la relación entre las variables.  Por tanto la regresión lineal es un método matemático en el cual se tiene una sola variable dependiente Y, la cual no se controla en el experimento. Esta respuesta depende de una o más variables independientes o de regresión, como son x1, x2, . . . xk, las cuales se miden con un error despreciable y en realidad, en la generalidad de los casos se controlan en el experimento.

Yi = α + βxi + εi  

Método de Mínimos Cuadrados

Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En éste método utilizamos la ecuación general de una recta,  de la forma:

Y = mx + b  

Luego se sustituye m por b y b por a, y queda como sigue:

Y = bx + a 

Estimación de los coeficientes de regresión

Dada la muestra {(xi , yi ), i= 1, 2, 3, . . . , n), la estimación de mínimos cuadrados a y b de los coeficientes de regresión α y β se calculan por medio de las fórmulas:

[pic 1]                   

Y                  

[pic 2]               

Al graficar (un diagrama de dispersión):

[pic 3],

Ejemplo:

Determine la línea de regresión considere los datos experimentales de la siguiente tabla, los cuales se obtuvieron de 33 muestras de desperdicios que se tratan químicamente en determinada empresa, realizado en el Instituto Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal. Se registraron las lecturas de X: reducción pocentual de sólidos y de Y: reducción porcentual de demanda de oxígeno químico para las 33 muestras. Grafique.

Solución:

                     1,104                    1,124                      41,355                    41,086  

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