DISTRIBUCION "t DE STUDENT"

4.7 Distribución T-student

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son  y para >2, respectivamente.

La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones t

1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.

3. A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.

4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl =

Ejemplo:

Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Solución:

De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711.

Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.

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