Ajustes Por Minimos Cuadrados

FISICA I

Escuela Politécnica de Ingeniería de Minas y Energía Torrelavega

Ajuste por mínimos cuadrados 7

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x

e y se relacionan a través de una ecuación lineal

y = ax + b

donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema

que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta

éste están ligadas a través de una ley lineal:

l = (1/K)F

con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica

propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los

parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos

cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes

condiciones, fijando para ello distintos valores de la

variable independiente x, y anotando en cada caso el

correspondiente valor medido para la variable

dependiente y. De este modo se dispone de una serie

de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados

gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin

embargo, los errores experimentales siempre presentes

hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver

Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina los

valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se

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ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el

resultado:

donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican.

Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se

describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de

mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la

variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo

aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán

afectadas de sus errores correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores,

entonces se tiene:

La pendiente de la recta se escribirá , y la ordenada en el origen .

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución

bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente

de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

Su valor puede variar entre 1 y -1.

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Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es

perfecta e inversa.

Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.

Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es

perfecta y directa.

Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con

diferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos (l variable

dependiente o x)

Cargas

sucesivas F(yi)

gramos

Lecturas

sucesivas (xi)

L

mm

200 60

400 120

500 150

700 210

900 260

1000 290

Los distintos datos que se necesitan son:

n 6

Σxi 1090

Σxi

2 236300

Σyi 3700

Σyi

2 2750000

Σxiyi 806000

ε 0,2

con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4]

b = -18,4153; a =3,4959 ; Δb =0,08164966; Δa =0,00102217; r = 0,9995

Redondeando en la forma usual

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