Metodos Minimos Cuadrados

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE

PROFR. JOSE LUIS VALDES VEGA

ESTADISTICA INFERENCIAL

“ METODOS MINIMOS CUADRADOS”

JESUS LEONEL CAMPOS SANCHEZ

JESUS F. VAZQUEZ ALVAREZ

JOSE FELICIANO AYON REYES

4TO. TRIM AGOSTO-DICIEMBRE 2012

LOS MOCHIS SIN., A 13 NOVIEMBRE DE 2012

INTRODUCCIÓN

El método de mínimos cuadrados tiene una larga historia que se remonta a los principios del siglo XIX. En Junio de 1801, Zach, un astrónomo que Gauss había conocido dos años antes, publicaba las posiciones orbitales del cuerpo celeste Ceres, un nuevo “pequeño planeta” descubierto por el astrónomo italiano G. Piazzi en ese mismo año. Desafortunadamente, Piazzi sólo había podido observar 9 grados de su órbita antes de que este cuerpo desapareciese tras de el sol. Zach publicó varias predicciones de su posición incluyendo una de Gauss que difería notablemente de las demás. Cuando Ceres fue redescubierto por Zach en Diciembre de 1801 estaba casi exactamente en donde Gauss había predicho.

Aunque todavía no había revelado su método, Gauss había descubierto el método de mínimos cuadrados. En un trabajo brillante logró calcular la órbita de Ceres a partir de un número reducido de observaciones, de hecho, el método de Gauss requiere sólo un mínimo de 3 observaciones y todavía es, en esencia, el utilizado en la actualidad para calcular las órbitas.

A continuación vamos a tratar de sacar a relucir algunos de los puntos más importantes del tema “Métodos Mínimos Cuadrados”, así como analizaremos algunos ejemplos prácticos.

Se presuponen en el alumno unos conocimientos básicos de Álgebra, cálculo y probabilidad.

Métodos de mínimos cuadrados.

El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste:

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0 (mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:

Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a

Primera ecuación normal

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b

Segunda ecuación normal

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

Veamos el siguiente ejemplo:

En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.

EJEMPLO 1

Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son los siguientes:

CIUDAD: 1 2 3 4 5 6 7 8

% de (X)

Graduados: 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2

Ingreso (Y)

Mediana: 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4 (0000)

Tenemos las ecuaciones

...