Metodos De Los Minimos Cuadrados

CATEDRA: ING. GESTION EMPRESARIAL

PROFESOR: RAMIREZ ZUÑIGA OSCAR ISMAEL

MATERIA: ESTADISTICA INFERENCIAL

TEMA: METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Introducción

3.2 Métodos de mínimos cuadrados

3.2.2 Ventajas

3.2.2.1 ejemplo

3.2.2 modelos clásicos

3.2.3 estimación de la tendencia

3.2.3.1ejemplo

3.2.4 estimación de la componente estacional

3.2.4.1 ejemplo

Conclusión

Bibliografía

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INTRODUCCION

El método de los mininos cuadrados es una técnica de análisis que nos permitirá pronosticar las unidades de tiempo, la cual busca o intente encontrar alguna función, la cual debe de aproximarse a todos los datos. Esto quiere decir que se ajuste más hacia los puntos de dispersión y así minimizar los residuos entre estos puntos, lo cual deberíamos decir que nos va a proporcionar intervalos pequeños de error.

Con la ayuda de ejemplo se ira demostrando e ilustrando la forma de obtener esto, siendo así se aclararan dudas para realizar el método de los mínimos cuadrados.

Se mencionaran también los modelos clásicos. Que son el aditivo y multiplicativo, dado esto se mostraran los tipos de gráficos: tendencia, estacional, cíclica o negativa y de igual forma todo esto se explicara por medio de ejemplos.

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Es una técnica de análisis numérico en la que, dados un conjunto de pares, se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un mejor ajuste).

En su forma simple, intenta minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos.

VENTAJAS

 Es objetivo, solo depende de los resultados experimentales.

 Es reproducible, proporciona la misma ecuación, no importa quien realice el análisis.

 Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales.

 Proporciona intervalos pequeños de error.

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en

Un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta

Resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría

Una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0

(Mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:

Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a

Primera ecuación normal

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b

Segunda ecuación normal

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Veamos el siguiente ejemplo:

En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.

EJEMPLO 1

Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son los siguientes:

CIUDAD: 1 2 3 4 5 6 7 8

% de (X)

Graduados: 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2

Ingreso (Y)

Mediana: 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4 (0000)

Tenemos las ecuaciones normales

∑y = na + b∑x

∑xy = a∑x + b∑x²

Debemos encontrar los términos de las ecuaciones

∑y, ∑x, ∑xy, ∑ x² Por tanto procedemos de la siguiente forma:

Y X XY X²

4.2 7.2 30.24 51.84

4.9 6.7 32.83 44.89

7.0 17.0 119.00 289.00

6.2 12.5 77.50 156.25

3.8 6.3 23.94 39.69

7.6 23.9 181.64 571.21

4.4 6.0 26.40 36.00

5.4 10.2 55.08 104.04

43.5 89.8 546.63 1292.92

Sustituyendo en las ecuaciones los resultados obtenidos tenemos: 43.50 = 8a + 89.8b

546.63 = 89.8a + 1292.92b

multiplicamos la primera ecuación por (-89.8) y la segunda por (8) así:

43.50 = 8a + 89.8b (-89.8) 546.63 = 89.8a + 1292.92b (8)

-3906.30 = -718.4a - 8064.04b 4373.04 = 718.4a + 10343.36b

466.74 = -0- 2279.32b

Este valor de b lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones para obtener a así:

Reemplazando b = 0.20477 en la primera ecuación normal

43.5 = 8a + 89.8 (0.20477) 43.5 = 8a + 18.3880 43.5 - 18.3880 = 8a 25.1120 = 8a

Tenemos entonces que los coeficientes de regresión son: a = 3.139 y b = 0.20477. Por tanto la ecuación de regresión nos queda:

Significa entonces que por cada incremento en una unidad en X el valor de se aumenta en 0.20477

Gráficamente lo anterior se puede mostrar así:

Claramente se observa en la gráfica que hay una diferencia entre el valor efectivo de Yｰ y el valor estimado; esta diferencia se conoce como error en la estimación, este error se puede medir. A continuación se verá el procedimiento.

Error estándar en la estimación

El error estándar de la estimación designado por sYX mide la disparidad "promedio" entre los valores observados y los valores estimados de . Se utiliza la siguiente

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