METODO MINIMOS CUADRADOS

METODO DE MINIMOS CUADRADOS Y SUS APLICACIONES

Después de medir una magnitud física y valorar el resultado desde el punto de vista estadístico no se alcanza a comprender el fenómeno. La física real empieza cuando se estudia la interdependencia casual entre dos o más magnitudes. Por lo tanto, para establecer leyes físicas que permitan predecir la evolución de un sistema es necesario conocer en forma experimental el tipo de relación que hay entre las cantidades de las magnitudes involucradas y representarla matemáticamente.

En la práctica, las cantidades están afectadas por errores de medición o fluctuaciones intrínsecas, por lo que es necesario aplicar un algoritmo que permita determinar algo así como “la relación más probable” entre las magnitudes físicas vinculadas en forma casual por un mecanismo físico. El caso más sencillo es suponer que la relación entre las magnitudes es lineal.

Con el propósito de descubrir o bien de verificar la ley física que vincula las variables de la serie de valores (x, y) obtenida experimentalmente se asume que estas son en principio independientes, de modo que sus incertezas también lo son. Como consecuencia, se han obtenido N pares de valores (xi, yi). Para definir cuál es la variable dependiente y cuál la independiente, se observan los errores de medición de cada uno. La de menor error absoluto será considerada la variable independiente; siendo el error de esta variable, en general, despreciable en comparación con la otra. Por lo tanto, el método de ajuste por Cuadrados Mínimos consiste en obtener una curva tal que la distancia vertical de los valores experimentales a la misma sea mínima.

Suponiendo que los puntos experimentales están visiblemente sobre una recta, en general, la ecuación es de la forma

y mx b

Se puede aplicar el siguiente método para encontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del grafico tienen esta tendencia. Aplicando la siguiente ecuación que se obtiene por mínimos cuadrados es fácil hallar la ecuación de la línea recta:

m=(n∑_i▒(x_i y_i ) - ∑_i▒〖x_i ∑_i▒y_i 〗)/(n∑_i▒〖x_i〗^2 -(∑_i▒x_i )^2 )

b= (∑_i▒〖〖x_i〗^2 ∑_i▒y_i 〗-∑_i▒〖x_i ∑_i▒(x_i y_i ) 〗)/(n∑_i▒〖x_i〗^2 -(∑_i▒x_i )^2 )

También es posible obtener los errores en los valores calculados con las ecuaciones:

∆m= (σ√n)/√(n∑_i▒〖x_i〗^2 -(∑_i▒x_i )^2 )

∆b= ∆m√((∑_i▒〖x_i〗^2 )/n)

σ= √((∑_i▒(y_i-〖mx〗_i-b)^2 )/(n-2))

Ejemplo:

Como ejemplo, vamos a ilustrar el método analizando los siguientes datos que se suponen tienen un comportamiento lineal:

Datos para análisis de un comportamiento lineal

n = 5 x y x^2 xy (y-1.4x-1.4)^2

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