Método de mínimos cuadrados

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Introducción.

Las mediciones a menudo contienen errores, se deben realizar cálculos estadísticos que evalúen su precisión, mediante cálculos estadísticos. En el laboratorio se comparan los resultados experimentales con fórmulas teóricas, con el propósito de comprobar que las medidas concuerden con los valores que predice la teoría.

El método de mínimos cuadrados se aplica para ajustar rectas a una serie de datos presentados como punto en el plano. Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados.

El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros m y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales.

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Donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican.  Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. Su valor puede variar entre 1 y -1. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

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Objetivo

Elaborar a partir de los datos experimentales, los cálculos del coeficiente de correlación (r), la pendiente (m) y la intersección al eje (b), representando las desviaciones respecto a una recta, por medio de fórmulas teóricas y el uso de herramientas tecnológicas tales como Exel, mediante graficas. Así como el análisis de los posibles errores al utilizar el método de regresión lineal. También se realizará un ejercicio con valores experimentales proporcionados por el autor de la práctica que ayudaran a reafirmar los conocimientos previos, llevándolos a la práctica.

Hipótesis

Mediante la observación y lectura de los datos experimentales, proporcionados en la práctica. En la tabla uno el valor error puede ser nulo, puesto que, al sustituir los datos, indica que existe una correlación entre la variante dependiente (y) y la variante independiente (x). Mientras que, en la segunda tabla, al usar distintos valores con decimales en y, se podría analizar un mayor margen de error.

Material.

• Cronometro y contador de pasos.
• Herramienta electrónica (Exel)

Método experimental

Recrear mediante los conocimientos dados, videos y ejemplos previamente vistos, un modelo con valores experimentales para el cálculo del coeficiente de correlación, pendiente e intersección al eje y su representación gráfica por medio de Exel.

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Desarrollo experimental

1. Calcule el coeficiente de correlación r, la pendiente, m y la intersección al eje, b, para el conjunto de datos de las tablas I y II, sustituyendo los valores obtenidos de las sumatorias en las correspondientes fórmulas.
2. Compruebe los datos experimentales con los datos teóricos.
3. Realice la gráfica correspondiente, apoyándose del recurso digital previsto en la práctica. En el caso de la tabla dos realice la corrección de y, posteriormente grafique la tabla con los valores obtenidos.
4. En el caso del experimento de la caminata. Realice la caminata por 30 min, haga el conteo de pasos por cada minuto transcurrido y anote sus resultados (puede ayudarse de una aplicación, cronometro o reloj)
5. Coloque los datos en la tabla, mínimo 30 datos y posteriormente realice el cálculo de rem y b.
6. Grafique utilizando la herramienta Exel y anote sus conclusiones.

Cálculos, tablas y gráficos

N = número de pares de datos = 5

∑ X = 1+2+3+4+5 = 15

∑ Y = 1+2+3+4+5 = 15

(∑ X)2 = (15)2 = 225

(∑ Y)2 = 225

(∑ Y)2 = (15)2 = 225

∑ X2 = 12+22+32+42+52 = 55

∑ Y2 = 12+22+32+42+52 = 55

∑XY = 1x1+2x2+3x3+4x4+5x5 = 55

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