Metodo De Minimos Cuadrados

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Este método es una aproximación que nos permite representar un grupo de datos mediante una sola función. Así que donde haya un conjunto de valores registrados, sin importar la cantidad de estos ni su tamaño, ahí estará el método de mínimos cuadrados para proporcionarle una tendencia. Las aplicaciones del método son ilimitadas. Para la ingeniería, los negocios, la investigación y todas las ciencias en general, el método de los mínimos cuadrados, le garantiza su tendencia con el mínimo margen de error.

Es el método más usado para el ajuste de una recta a una serie de datos.

Con el método de los mínimos cuadrados se puede calcular en una función una serie de datos registrados.

El método de mínimos cuadrados sirve para interpolar valores, dicho en otras palabras, se usa para buscar valores desconocidos usando como referencia otras muestras del mismo evento.

El método consiste en acercar una línea o una curva, según se escoja, lo más posible a los puntos determinados por la coordenadas (x,f(x)), que normalmente corresponden a muestras de algún experimento.

Cabe aclarar que este método, aunque es sencillo de implantar no es del todo preciso, pero si proporciona una interpolación aceptable.

Como se comento previamente se puede usar una recta o una curva como base para calcular nuevos valores.

A continuación se muestra el diagrama de flujo de datos de los métodos de mínimos cuadrados:

Inferencias relativas a la pendiente

Antes de usar una ecuación de regresión con el propósito de estimar, se debe determinar primero si existe una relación entre las dos variables de la población, o si la relación observada en la muestra pudo haber ocurrido por causalidad. En ausencia de cualquier relación en la población, la pendiente de la recta de regresión poblacional será, por definición, cero: β_1=0. Por tanto, la usual hipótesis nula que se prueba es H_(0: ) β_1=0. La hipótesis nula también se puede formular como una prueba de una cola, en cuyo caso la hipótesis alternativa no es simplemente que las dos variables estén relacionadas, sino que la relación es de tipo específico (directa o inversa).

Se prueba un valor hipotético de la pendiente mediante el cálculo de un estadístico t y el uso de b-2 grados de libertad. Se pierden dos grados de libertad en el proceso de la inferencia porque se estiman dos parámetros de la ecuación de regresión, b_(0 )y b_1. La formula estándar es:

t=(b_1-(β_(1 )_0 ) )/S_b1

Donde:

S_b1=S_(Y.X)/√(ΣX^2-nX ̅^2 )

Sin embargo, cuando la hipótesis nula es que la pendiente es cero, que es lo más frecuente, entonces el primer formula se simplifica y se tiene:

t=b_1/s_b1

Los problemas anteriores ilustran una prueba de dos colas y una prueba de una cola para la pendiente, respectivamente.

El intervalo de confianza para la pendiente poblacional β_1, en donde los grados de libertad t son una vez más n -2, se construye como sigue:

b_1± ts_b1

El problema que es representativo por la segunda formula ilustra la construcción de un intervalo de confianza para la pendiente poblacional.

Estimación de un valor esperado de una variable aleatoria

Si una variable aleatoria x asume los valores x_1,x_(2,) x_3…,x_n con las probabilidades correspondientes p_(1,) p_2,p_3 〖…,p〗_(n,) entonces el valor esperado de la variable aleatoria E(x) es:

p_1 x_(1+) p_2 x_(2+) p_3 x_(3+⋯+) p_n x_n

Por tanto:

E(X) = ∑_(i=1)^n▒〖p_i x_i 〗

Supóngase que una tienda de aparatos electrodomésticos ha reunido los siguientes datos sobre ventas de congeladores:

x_1 P(x)

Cantidad de congeladores vendidos Frecuencia relativa

0 0.20

1 0.30

2 0.30

3 0.15

4 0.05

1.00

E(X)= 0.20 (0)+0.30 (1)+0.30 (2)+0.15 (3)+0.05 (4)=1.55

Como obviamente la tienda no puede vender en realidad 1.55 congeladores en un día determinado (dado que la cantidad vendida es una variable discreta que consta de los enteros 0, 1, 2,3 y 4), la pregunta obvia es cómo interpretar dicha cifra. Es muy simple, el valor esperado es un promedio de largo plazo.

En forma semejante, si se tira un dado no cargado, ¿Cuál es el valor esperado de una tirada? Hay seis resultados que tienen la misma probabilidad, y el valor esperado es

1/6 (1)+1/6 (2)+1/6 (3)+1/6 (4) 1/6 (5) 1/6(6)= 3.5

Una vez mas, 3.5 es un evento imposible en lo referente a una sola tirada, pero ciertamente es razonable en términos de un promedio calculado sobre muchas pruebas.

El valor esperado de un experimento es un promedio, y se puede calcular como sigue:

E(X) = ∑_(i=1)^n▒〖p_i x_i 〗

Es interesante observar que el valor esperado se puede calcular aun cuando no se hayan llevado a cabo observaciones muéstrales, como en el caso del dado, y el valor esperado se puede estimar a partir de datos de muestreo, como en el ejemplo de las ventas de congeladores.

CERTIDUMBRE E INCERTIDUMBRE

La propagación de incertidumbre es el efecto de variables de incertidumbres, también llamados errores, en la incertidumbre de establecer una función matemática basada en estos.

Incertidumbre: Falta de un conocimiento completo acerca de los posibles resultados de las acciones, con desconocimiento de las probabilidades de los posibles resultados.

Certidumbre:

Ambiente de decisión en el que sólo existe un estado de naturaleza

CERTIDUMBRE E INCERTIDUMBRE

...