Analisis Del Teorema Pi

Análisis del teorema π (pi)

Introducción

Nos referimos al análisis dimensional como aquellos procedimientos que basados en el análisis de las variables y parámetros que gobiernan un fenómeno, y más específicamente en las magnitudes físicas que dichas variables involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman parámetros adimensionales. El problema físico queda entonces descripto, con el mismo grado de delidad, por este nuevo conjunto reducido de parámetros adimensionales. Enfatizamos la palabra reducido, dado que esta es una de las ventajas del análisis dimensional. Al ser menor el número de variables o parámetros, es posible organizar y expresar más ecientemente los resultados de la experimentación. La otra gran ventaja es que permite identificar con más facilidad, aquellos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere un análisis más profundo, 1 diremos que básicamente la similitud es lo que permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo a escala sea extrapolables a prototipos de tamaño real. Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el análisis dimensional. El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que cualquier ecuación que represente en forma correcta un fenómeno físico, tiene que ser invariante ante un cambio en el sistema de medición (unidades). Algunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuación que representa el fenómeno debe ser un monomio como el siguiente

v1^a1 v2^a2…vN^aN=1 (1)

De acuerdo a esto, cualquier ecuación que represente un fenómeno físico involucrando las variables/parámetros (v1,v2,v3,...,vN) se debería poder expresar en la forma de (1). El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuación que representa un fenómeno físico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimensional:

Si una ecuación verdaderamente expresa una relación apropiada entre variables en un fenómeno físico, entonces cada uno de sus términos aditivos, deben necesariamente tener las mismas dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuación es dimensionalmente homogénea.

Un ejemplo de este principio lo podemos ver en el balance macroscópico de cantidad de movimiento

d/dt ∫_(v(t))▒〖ρv dV+∫_(Ae(t))▒〖ρv(v-w)ndA=∫_(v(t))▒〖ρg dV 〗+∫_(A(t))▒〖t(n)dA 〗 〗〗(2)

La expresión anterior no es otra cosa que el principio del momento lineal aplicado a un volumen de control arbitrario. Así vemos que cada término de la ecuación tiene dimensiones o unidades de fuerza ([F] = [ML/T2]) y ade- más tiene un signicado físico claro (fuerzas de volumen, fuerzas de contacto, etc.). Supongamos que trabajamos en el sistema MKS y por lo tanto todos los términos de la ecuación tendrán unidades de Newton (1[N] = 1[Kg m/s2]). Ahora si cambiamos al sistema CGS, donde la unidad de fuerza en la dy- na (1[dyn] = 1[grcm/s2] = 10−5[N]), el factor 10−5 aparecerá en todos los términos y por lo tanto se puede eliminar de la ecuación. De esta forma la ecuación queda invariante ante un cambio de sistema de unidades. Con el mismo concepto, si en una relación con términos aditivos y dimensional- mente homogénea realizamos una operación que deje sin dimensiones uno de sus términos, entonces necesariamente la misma operación eliminará las dimensiones de cualquiera de los términos restantes de la ecuación. Entendemos como magnitudes físicas fundamentales a la masa (M), la longitud (L), el tiempo (T), la temperatura (C), la carga eléctrica (Coulomb), etc. En los problemas que habitualmente abordamos en este curso, basta con considerar solamente las primeras tres. Por ejemplo, las unidades dimensionales de la variable (o parámetro) densidad (ρ) se expresan a partir de las magnitudes fundamentales masa y longitud, esto es [ρ] = [ML−3T0]. Una herramienta muy valiosa en el análisis dimensional es el conocido teorema Π de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el nú- mero de parámetros o variables de los cuales depende un fenómeno físico, mediante la generación de grupos adimensionales que involucran dichas variables. Resulta particularmente valioso cuando no se conoce la ecuación que gobierna un fenómeno y se busca encontrar dicha relación mediante la experimentación de laboratorio. En las secciones siguientes vamos a enunciar el teorema, establecer un método para su aplicación y mostraremos su utilización a través del ejemplo clásico e ilustrativo de la pérdida de carga en tuberías de sección cilíndrica.

Teorema π

Consideremos un fenómeno físico, el cual depende de N variables y/o parámetros (v1,v2,v3,...,vN), las cuales a su vez involucran K magnitu- des físicas fundamentales (o básicas). Supongamos que existe una relación funcional entre las N variables, del tipo

F(v1,v2,v3,...,vN)= 0 (3)

Luego, el teorema Π nos asegura que es posible representar el mismo fenómeno físico mediante otra relación funcional equivalente, que depende de m = N −K parametros adimensionales πi, es decir, de un número reducido de parámetros

φ(π1,π2,π3,...,πm)= 0 (4)

Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acerca de la relación funcional F o φ. Es decir que si no se conoce la ecuación que gobierna el fenómeno, mediante la aplicación del teorema no podremos de- terminarla. El mismo sólo nos mostrará que grupos adimensionales se pueden formar a partir de las variables dimensionales originales. La metodología para encontrar estos πj grupos adimensionales se puede detallar así:

Seleccionar K de las variables vi dimensionales originales, que llama- remos variables núcleo. Entre las K variables deben estar contenidas las K magnitudes físicas fundamentales y no se debe poder formar un grupo adimensional al realizar un producto de potencias entre ellas.

Cada grupo adimensional πj se formará como un producto de potencias entre las K variables núcleo y una (y solo una) de las restantes m variables físicas no usadas.

Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe resultar en una cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a la que está elevada cada variable dimensional se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula.

Esta metodología que, en primera instancia, parece bastante críptica y complicada, es muy sencilla de aplicar y resultará clara al resolver el si-

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