Análisis y solución de la ecuación de crecimiento poblacional del modelo de Pierre Verhulst

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Objetivo:

Escribirá un ensayo sobre la aplicación de la ecuación de Verhulst para predecir la producción de un producto o servicio en la toma de decisiones en la industria.

Introducción:

Es sabido que el cálculo en general nos ayuda a persuadir, catalogar, describir y básicamente analizar cualquier enigma de la sociedad para ello en esta ocasión estudiaremos la aplicación de la ecuación de Verhulst la cual fue propuesta por Verhulst para modelar el crecimiento de cualquier población, ya sea humana o de animales. Es una ecuación paradigmática porque a pesar de su sencillez es una ecuación dinámica no lineal con mucho potencial para modelar y además es muy didáctica para representar un sistema dinámico no lineal que evoluciona en el tiempo.

En el siguiente ensayo se probará demostrar la aplicación de la ecuación de Verhulst en la logística industrial por medio de alguno de los métodos implementados en clase por el facilitador de la materia de Ecuaciones Diferenciales, además de que implementare los aspectos teóricos y prácticos que esta puede abarcar a grandes rasgos, tomando en cuenta una amplia investigación por diferentes medios tecnológicos de internet, así como documentos otorgados por el facilitador de la materia para así enunciar aspectos muy importantes del campo de estudio y el tema en específico como los principios fundamentales, aplicación e implementación de las fórmulas etc. Incluyendo la información recabada en el desarrollo del presente documento, estipulando definidamente lo más relevante y citando a los autores de donde se extrajo la información y finalmente se realizará una conclusión donde plasmaremos sólidamente la argumentación del tema en estudio.

Para ello remontaremos a los principios de la ecuación de Verhulst enunciando el nacimiento del principio en su sentido donde la ecuación Verhulst fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838 después de haber leído el ensayo sobre el principio de población de Thomas Malthus. Posteriormente Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica. En ocasiones, la ecuación es también llamada "ecuación Verhulst-Pearl" por su redescubrimiento en 1920. Alfred J. Lotka obtuvo de nuevo la ecuación en 1925, llamándola ley del crecimiento poblacional.

En base a lo anterior este trabajo cree que es posible solucionar la dificultad expuesta de la implementación de la ecuación de Verhulst aplicándola de manera más casual donde  dicho análisis pretende estimar la probabilidad de un determinado evento, medible por variables categóricas y numéricas, que se sabe está correlacionado con ciertas variables cuantitativas.

Desarrollo:

A continuación, se explicará detalladamente la información recabada durante el proceso de investigación y de mencionar todo lo relevante en cuanto a los aspectos teóricos y prácticos de la ley de Verhulst, para ello comenzare mencionando lo que especifica esta función.

En 1838, el matemático belga Pierre-François Verhulst publicó un artículo en el que introdujo (con diferentes anotaciones) la ecuación logística ahora conocida por el crecimiento de una población. Fue utilizado para el crecimiento individual de animales, plantas, hombres y órganos del cuerpo

La ecuación diferencial de Verhulst es una ecuación que puede resolverse por tres métodos:

• Por ecuación diferencial de Bernoulli.
• Por método de fracciones parciales.
• Por método de sustitución trigonométrica.

La ecuación diferencial de Verhulst con condiciones iniciales respectivas está dada por la siguiente ecuación:

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