Aplicacion

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 1

Capítulo 3:

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de

conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una herramienta

muy útil para graficar funciones. Estos serán dos de los temas que trataremos en este capítulo.

3.1 Extremos absolutos y puntos críticos

Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de

decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo

o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es

cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de

función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema.

Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo.

Los máximos o mínimos absolutos de una función son llamados extremos absolutos. La

palabra absoluto suele ser omitida.

Si f (c) es el valor máximo de f en I entonces se

dice que f alcanza su valor máximo en x= c.

En la figura, el punto (c, f (c)) es el punto más

alto de la gráfica de la función en I= (a,b) .

Definición.- Sea f una función definida en un intervalo I y c un punto en I.

 f (c) es el valor máximo absoluto de f en I si f (c)  f (x) para todo x en I.

 f (c) es el valor mínimo absoluto de f en I si f (c)  f (x) para todo x en I.

2 3.1 Extremos absolutos y puntos críticos

Observaciones:

2) Hay funciones tales que en un intervalo tienen un máximo pero no tienen mínimo, otras no

alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos. Abajo se muestran algunas posibilidades.

El siguiente teorema establece un resultado para la última situación: si la función es continua

y el intervalo es cerrado entonces se puede asegurar la existencia de ambos extremos.

Teorema.- Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces f

alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a,b].

1) Una función puede alcanzar un valor

mínimo más de una vez.

Similarmente puede alcanzar más de

una vez un valor máximo.

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 3

EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

Hablaremos de extremos relativos para referirnos conjuntamente a los máximos y mínimos

relativos. Una de las importancias de los extremos relativos es que nos ayudará a localizar los

extremos absolutos de una función. Por ejemplo, en el caso de una función continua definida en un

intervalo cerrado, si el máximo absoluto no se alcanza en un extremo del intervalo entonces ese

máximo ocurre en un extremo relativo. El problema que trataremos, en lo que sigue, es centrar la

búsqueda de los puntos x donde se alcanzan los extremos relativos. Los extremos relativos son fáciles

de localizar a través de la derivada.

De una manera gráfica podemos decir que los máximos relativos son la cimas de la gráfica y

los mínimos relativos son los valles.

Observación.- El Teorema da una

garantía para que existan ambos

extremos. Sin embargo algunas de

las condiciones pudiesen no

satisfacerse y alcanzarse ambos.

En la figura observamos la gráfica de una

función f tal que f (e) es el valor máximo absoluto

de f. El valor f (c) no es el máximo absoluto, sin

embargo podemos apreciar un intervalo abierto que

contiene a c tal que f (c) es el valor máximo

absoluto de la función en ese intervalo. Este valor

es un valor característico de la función y nos

referiremos a él como un valor máximo relativo o

local de la función. De manera similar hablaremos

de un valor mínimo relativo f (d) si este valor es

el mínimo que tiene f (x) para x cercanos a d. A

continuación damos la definición formal.

Definición.-

 Una función f tiene un máximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el

dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor máximo absoluto en el intervalo.

 Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el

dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor mínimo absoluto en el intervalo.

4 3.1 Extremos absolutos y puntos críticos

La peculiaridad de estos puntos, por ejemplo las cimas, es que son:

1.- Cimas suaves, sin picos. En este caso la recta tangente es horizontal o

2.- Cima en forma de pico o angulosa, en este caso no hay derivada en ese punto.

Observaciones.-

1.-Conviene resaltar que de acuerdo a la definición dada, si una función definida en un intervalo [a,b]

alcanza un máximo o mínimo absoluto en uno de los extremos del intervalo, entonces ahí no hay

máximo o mínimo relativo pues para ello debería estar definida la función en un intervalo abierto

conteniendo el extremo y no lo está.

2.- Si un valor extremo de f en un intervalo cerrado [a,b] no se alcanza ni en a ni en b, entonces ese

valor extremo absoluto es también relativo.

Los valores de x donde la derivada vale 0 o no existe la derivada serán los únicos candidatos

donde se pueden presentar extremos relativos. Damos un nombre especial a estos valores.

El siguiente Teorema es dado sin demostración.

Observación.- En un punto crítico puede haber o no un extremo relativo.

Teorema.- Si f alcanza un extremo relativo en c entonces c es un valor crítico.

Definición.- Sea c un punto en el dominio de f . Si f (c)  0 o f (c) no está definida entonces c

se denomina un número o valor crítico y (c, f (c)) un punto crítico.

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 5

Remarcamos que el Teorema no dice que si un punto es crítico entonces hay un máximo o mínimo

relativo en ese punto. Pero si que los puntos críticos son los únicos candidatos a máximos o mínimos

relativos.

Ejemplo 1.- Encontrar los puntos críticos de la función f (x)  x  3 x 1 .

Solución: Observe que el dominio de la función son todos los reales. La derivada está dada por

3 2

3

3 ( 1)

( ) 1

 

   

x

f x x x

3 3 ( 1)2

4 3

 





x

...