Aplicaciones Cuadraticas

APLICACION DE LA ECUACION CUADRATICA

Las ecuaciones cuadráticas presentan un sin número de aplicaciones, entre ellos tenemos algunos problemas de Economía que dan lugar a una ecuación de segundo grado. Veamos un ejemplo.

Mensualmente una compañía puede vender x unidades de cierto artículo a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x

¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12.000 pesos?

SOLUCIÓN

Partimos de la siguiente ecuación de economía.

Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos

Datos suministrados

Ingreso = 12000 pesos

Precio de venta = 1400 – 40x

Número de artículos vendidos = x

Sustituimos estos datos en la ecuación de economía

Ingreso = Precio de venta × Número de artículos vendidos

12000 = (1400 – 40x) × x

Destruyendo paréntesis nos queda

12000 = 1400x – 40x2

Lo que nos da una ecuación cuadrática, haremos ahora una transposición de términos para llevarla a su forma general, quedando de la siguiente manera.

40x2 – 1400x + 12000 = 0

Esta ecuación se puede simplificar dividiendo cada término entre 40.

Quedando

x2 – 35x + 300 = 0, esta ecuación se puede solucionar por factorización, multiplicando dos paréntesis.

(x -20)(x – 15) = 0, de aquí se concluye que;

(x-20) = 0 ٨ (x-15) = 0, por lo que x = 20 y x =15, son las soluciones de este problema.

Aplicación de las funciones cuadráticas en la vida real

Las funciones cuadráticas modelan gran parte de situaciones del mundo físico. Aquí se muestra una de ellas, con la proposición y desarrollo del siguiente

Ejercicio Explicativo.

El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Solución.

Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje \(x\) coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.

Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a \(\frac{4200}{2}=2100\) pies del centro.

Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en \((0,0)\) como se ilustra en la figura de abajo

La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como \[y = ax^2 \quad,\quad a>0.\] Obsérvese que los puntos \((-2100, 526)\) y \((2100, 526)\) están en la gráfica parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de \(a\) en \(y = ax^2\): \[\begin{gathered}

y = a{x^2} \\

526 = a{(2100)^2} \\

a = \frac{{526}}{{{{(2100)}^2}}} \\

\end{gathered} \] Así, la ecuación de la parábola es \[y = \frac{{526}}{{{{(2100)}^2}}}{x^2}\]

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