Aporte Trabajo Colaborativo 2 Algebra

. De la siguiente función, f(x)=x/√(x^2+1) determine:

a) Dominio b) Rango

Solución

Dominio

Como x^2+1 siempre va ser mayor que cero para cualquier real. Entonces se tiene que el dominio son todos los reales.

Rango

Despejemos x para saber qué valores puede tomar f(x).

f(x)=x/√(x^2+1), como f(x) = y; entonces:

y √(x^2+1)=x

y^2 (x^2+1)=x^2

y^2 x^2+y^2-x^2=0

x^2 (y^2-1)=-y^2

x^2=y^2/(1-y^2 )

x=y/√(1-y^2 )

Luego,

1-y^2>0

(1-y)(1+y)>0

Se debe solucionar esta desigualdad. Apliquemos el diagrama de signos.

La solución es el intervalo (-1, 1).

Por lo tanto, el rango es: y ∈(1,1)

2) Dada las funciones Determine:

f + g

Solución

f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-1+3x^2)

f(x)+g(x)=x^2+1+2x-1+3x^2

f(x)+g(x)=4x^2+2x

f. g

Solución

f(x)*g(x)=(x^2+1)*(2x-1+3x^2)

f(x)*g(x)=2x^3-x^2+3x^4+2x-1+3x^2

f(x)*g(x)=3x^4+2x^3+〖2x〗^2+2x-1

(g o f)

Solución

(g o f)=2(x^2+1)-1+3(x^2+1)^2

(g o f)=2x^2+2-1+3x^4+6x^2+3

(g o f)=3x^4+8x^2+4

(g o f)(1)

Solución

Teniendo en cuenta la solución anterior se tiene:

(g o f)_((x))=3x^4+8x^2+4

(g o f)_((1))=3〖(1)〗^4+8〖(1)〗^2+4

(g o f)_((1))=3+8+4

(g o f)_((1))=15

3) Verifique las siguientes identidades:

a)

Solución

Transformando el segundo miembro aplicando identidades fundamentales se tiene:

1=(〖sen〗^2⁡x/〖cos〗^2⁡x )/(1/〖cos〗^2⁡x )+〖cos〗^2⁡x

1=(〖sen〗^2⁡x*〖cos〗^2⁡x)/〖cos〗^2⁡x +〖cos〗^2⁡x

1=〖sen〗^2⁡x+〖cos〗^2⁡x

1=1

Por lo tanto queda demostrada la identidad.

b) 〖(x cos⁡β+y sin⁡β)〗^2+〖(y cos⁡β-x sin⁡β)〗^2=x^2+y^2

Solución

Transformando el primer miembro aplicando identidades fundamentales y productos notables se tiene:

〖 x〗^2 〖cos〗^2⁡β+xy cos⁡β sin⁡β+y^2 〖sen〗^2⁡β+y^2 〖cos〗^2⁡β-xy cos⁡β sin⁡β+x^2 〖sen〗^2⁡β=x^2+y^2

〖 x〗^2 (〖cos〗^2⁡β+〖sen〗^2⁡β)+〖 y〗^2 (〖cos〗^2⁡β+〖sen〗^2⁡β)=x^2+y^2

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