Apuntes básicos integrales múltiples

ING 3840- Cálculo II[pic 1]

2021.10

Apuntes Básicos de Integrales

17-Mayo

Profesor: Álvaro Hernández

Ayudante: Antonia Banduc

Integrales

Sea un espacio D en  un conjunto de la forma:[pic 2]

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Donde  es un intervalo usual en .[pic 5][pic 6]

Podemos definir la Integral de una superficie S de la función  como:[pic 7]

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De esta forma la integral I se denomina una integral rectangular.

¿Por qué? Esta se encuentra dentro de un intervalo cerrado y acotado.

COSAS IMPORTANTES:

1. El término  en este contexto, por sí mismo no tiene valor alguno (no es un número ni una función) y se utiliza para indicar el orden de integración, es decir, se integra con respecto a X.[pic 9]
2. Como nos encontramos en Cálculo en Varias Variables la integral I tiene distintas notaciones.

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Donde  y  indican el orden de integración, es decir:[pic 12][pic 13]

1. Dependiendo de como sea mi función van a existir distintas formas de reordenar una integral.

Teorema de Fubini: Sean  y  rectángulos en  respectivamente. Sea , una función Integrable tal que las funciones:[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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Estén bien definidas y sean integrables. Entonces

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De esta forma podemos definir un orden de integración a conveniencia y resolverlas de forma más sencilla. Vale la pena mencionar que las integrales de desarrollan de adentro hacia afuera.

Teorema de Cambio de Variable: Sea  abierto y  una función de clase  Sea  una región abierta y acotada talque , y supongamos además que T es inyectiva en D’, que la matriz JT(u) es invertible para todo  es un abierto. Sea  una funcion continua. Entonces:[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

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OBSERVACION: T es el cambio de variable en la ecuación anterior. Es usual escribirlo de la siguiente forma:

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El determinante comúnmente se llama determinante del Jacobiano.

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