INTEGRALES MULTIPLES

Sección: VIII Mecánica – N y 2T

CUARTA GUIA

UNIDAD IV: INTEGRALES MULTIPLES

Introducción

De la misma manera en que la integral de una función positiva f(x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f(x,y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una integral triple de una función f(x,y,z) definida en una región del espacio x,y,z, el resultado es un hipervolumen, sin embargo, es bueno notar que si f(x,y,z)=1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de intregración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha.

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

INTEGRALES DOBLES

La integral doble normalmente se utiliza para encontrar el volumen de un sólido encontrando ciertos puntos de intersección para así poder integrarla después. Para la integral doble de una función de dos variables, la función está definida en una región cerrada de R^2.

El tipo más simple de región cerrada en R^2 es la región rectangular cerrada dos puntos diferentes A(a_1,a_2 ) y B(b_1,b_2 ), tales que a_1≤b_1 y a_2≤b_2, determinan un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.

Propiedades de la integral doble: estas propiedades son de utilidad en cálculos y aplicaciones. La validez de estas propiedades se basa en que se cumplen para las sumas que definen las integrales: entre ellas tenemos:

∬_R▒〖kf(x,y)dA=k∬_R▒f(x,y)dA〗

∬_R▒〖[f(x,y)±g(x,y) ]dA=∬_R▒〖f(x,y)dA±〗 ∬_R▒g(x,y)dA〗

∬_R▒〖f(x,y)dA≥0〗 si f(x,y)≥0 en R

∬_R▒〖f(x,y)dA≥∬_R▒g(x,y)dA〗 si f(x,y)≥g(x,y) en R

∬_R▒〖f(x,y)dA=∬_(R_1)▒〖f(x,y)dA+∬_(R_2)▒f(x,y)dA〗〗 Propiedad de “aditividad del dominio” que se cumple cuando R es la unión de dos rectángulos R_1 y R_2 que no se superponen.

Sea f(x,y)≥0 una función integrable en una región rectangular cerrada R del plano xy limitada por las rectas x=a_1,x=b_1,y=a_2 y y=b_2. El número que representa el valor de la integral doble es

∬_R▒f(x,y)dA=∫_(a_2)^(b_2)▒∫_(a_1)^(b_1)▒f(x,y)dxdy

INTEGRALES MÚLTIPLES E ITERADAS

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto sistemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.

Se llama integral iterada a la realización sucesiva de por lo menos dos procesos de integración simple considerando los diferenciales dx y dy.

Si la expresión ∫_a^b▒∫_c^d▒f (x,y)dydx se refiere a una integral iterada, la parte externa ∫_a^b▒〖⋯dx〗 es la integral con respecto a x de la función de x: g(x)=∫_c^d▒f(x,y)dy.

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo sí las dos integrales iteradas existen y son iguales. Si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx o dxdy, y por lo general se calcula determinando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene: ∫_a^b▒∫_c^d▒〖f(x,y)dydx≠∫_c^d▒∫_a^b▒f(x,y)dxdy〗.

LIMITES DE INTEGRACION

Los límites de integración de una integral iterada identifican dos intervalos para las variables. Así, en la integral ∫_a^b▒∫_c^d▒f (x,y)dydx, los límites exteriores indican que x está en el intervalo a≤x≤b y los interiores indican que y está en el intervalo c≤y≤d. Conjuntamente, esos dos intervalos determinan la región de integración R de la integral iterada.

Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto de la variable exterior de integración. Por el contrario, los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración. Una vez efectuada la integración interior, se llega a una integral definida ordinaria, y la segunda integración produce un número real.

Una integral iterada es un caso especial de integral definida, donde el integrando es a su vez una integral, por lo tanto, podemos utilizar las propiedades de las integrales definidas al evaluar integrales iteradas.

Ejemplo 1: evalúe la integral doble ∬_R▒(3y-2x^2 ) dA si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1≤x≤2 y 1≤y≤3.

Solución: para evaluar esta integral doble utilizamos ∬_R▒f(x,y)dA=∫_(a_2)^(b_2)▒∫_(a_1)^(b_1)▒f(x,y)dxdy y para ello hacemos a_1=-1,b_1=2,a_2=1 y b_2=3. Ahora sustituimos:

∬_R▒〖(3y-2x^2 )dA=∫_1^3▒∫_(-1)^2▒〖(3y-2x^2 )dxdy=∫_1^3▒[3xy-2/3 x^3 ] 〗〗 ■(2@-1)dy=∫_1^3▒〖(6y+3y-2/3 8+2/3 (-1)^3 )dy=∫_1^3▒〖(9y-6)dy=[9/2 y^2-6y] ■(3@1)=9/2 (9-1)-6(3-1)=36-12=24〗〗

Ejemplo 2: resolver la siguiente integral iterada ∫_1^2▒[∫_1^x▒(2x^2 y^(-2)+2y) dy]dx

Solución: los corchetes de la ecuación dada suelen omitirse y la integral iterada se puede escribir así: ∫_1^2▒∫_1^x▒(2x^2 y^(-2)+2y)dydx.

Para resolver la integral comenzamos por resolver la integral interna, veamos:

∫_1^2▒∫_1^x▒(2x^2 y^(-2)+2y)dydx=∫_1^2▒├ (-2x^2 y^(-1)+y^2 ) ] ■(x@1)dx=∫_1^2▒├ (-(2x^2)/y+y^2 ) ] ■(x@@1)dx=∫_1^2▒[(-(2x^2)/x+x^2 )-(-2x^2+1) ] dx=∫_1^2▒〖(3x^2-2x-1)dx=├ (x^3-x^2-x) ] ■(2@1)=(2^3-2^2-2)-(1^3-1^2-1)=(8-4-2)-(1-1-1)=2-(-1)=3〗

Ejemplo 3: calcular ∬_R▒(1-1/2 x^2-1/2

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