Unidad 5 Integrales Multiples

Unidad 5

Integrales múltiples

traza de ía superficie

en el piano x = constante superficie

En esta unidad Concluimos nuestro estudio del cálculo de funciones de múltiples variables con las definiciones y aplicaciones de integrales definidas en dos y tres dimensiones. Estas integrales se llaman de modo más común como la integral doble y la integral triple, respectivamente. También se estudia la integral de línea.

Competencias específicas

• Plantear y resolver integrales a partir de una situación propuesta, eligiendo el

sistema de coordenadas más adecuado.

• Usar software para hallar la representación gráfica de un campo vectorial.

5.1 La integral doble

I Introducción Recuerde que la definición de la integral definida de una función de una sola variable está dada por el límite de una suma:

f(x)dx = lím

J ^ ' liai^n

Xk.

(1)

Re*

Fl G U RA 5.1.1 Punto muestra

Se. le pide revisar los pasos que llevan a esta definición. Los pasos preliminares análogos que conducen al concepto de integral definida bidimensional, conocidos simplemente como integral doble de una función/de dos variables, se dan a continuación.

Sea z — f(x, y) una función definida en una región cerrada y acotada R del plano xy. Con-sidere los siguientes cuatro pasos:

• Por medio de una retícula de líneas verticales y horizontales paralelas a los ejes de coor¬

denadas, forme una partición P de R en n subregiones rectangulares Rk de áreas AAt que

estén por completo sobre R. Son los rectángulos que se muestran en claro en la FIGURA

5.1.1.

• Sea ||P|| la norma de la partición o la longitud de la diagonal más grande de las n subre¬

giones rectangulares Rk.

• Elija un punto muestra (xf, y*) en cada subregión Rk.

• Forme la suma 2¿= \f(x*, y*)kAk.

Así, tenemos la siguiente definición.

Definición 5.1.1 La integral doble

Sea/una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces la integral doble de/sobre R, denotada por ffgf(x, y) dA, se define como

f(x,y)dA=

tnr*" k = i

(2)

Si el límite en (2) existe, afirmamos que / es integrable sobre R y que R es la región de integración. Para una partición P de R en subregiones Rk con (x*, y*) en Rk, una suma de la forma 2^= ¡f(x*, y*)ÁÁk se denomina suma de Riemann. La partición de R, donde las Rk yacen por completo en R, recibe el nombre de partición interior de R. La colección de rectángulo? sombreados en las siguientes dos figuras ilustra una partición interna.

Nota: Cuando / es continua sobre R, el límite en (2) existe, esto es, / es necesariamente inte¬grable sobre R.

EJEMPLO 1

Suma de Riemann

1

FIGURA 5.1.2 Región de integración R en el ejemplo 1

Considere la región de integración R en el primer cuadrante acotado por las gráficas de x + y = 2, y = 0y x = 0. Aproxime la integral doble JJ/¡(5 — x — 2y) dA utilizando una suma de Riemann, las Rk que se muestran en la FIGURA 5.1.2 y los puntos muestra (x*, y*) en el centro geométrico de cada Rk.

Solución De la figura 5.1.2 vemos que AAA. = \ • \ = ¿, k = 1, 2, . . . , 6 y las (x*, y*) en las Rk para k = 1, 2,..., 6, son a su vez, (|, |), (|, |), (f, |), (f, f),(|, f), (|, |). Por consiguiente, a suma de Riemman es

H 1,9 j_ 4*44*4

- f(í í)l+/(!• í)i+^(f' DI+/(f • !)l+f(í DI+/(í I

= 1Z 1 + 11 1 + II 1,11 1

5.1 La integral doble 203

I Volumen Sabemos que cuando f(x) & O para toda x en [a, b], entonces la integral definida 11 produce el área bajo la gráfica de/sobre el intervalo. De manera similar, si/(.r, y) S: O sobre R. entonces sobre Rk como se muestra en la FIGURA 5.1.3, el producto/(**, y*)AAt puede interpre¬tarse como el volumen de un paralelepípedo, o prisma, rectangular, de altura/(je*, y*) y área de la base AA¿. La suma de n volúmenes S£= if(x*, y*)&Ak es una aproximación al volumen V del -olido acotado entre la región R y la superficie z = f(x, y). El límite de esta suma cuando P\\ —»0, si existe, producirá el volumen de este sólido; esto es, si/es no negativa sobre R, entonces

= \f(x,y)dA.

(3)

FIGURA 5.1.3 Se construye un paralelepípedo rectangular sobre cada Rk

Los paralelepípedos construidos en las seis Rk que se muestran en la figura 5.1.2 se ilustran en la FIGURA 5.1.4. Puesto que el integrando es no negativo sobre R, el valor de la suma de Riemann dada en el ejemplo 1 representa una aproximación al volumen del sólido acotado entre la región R y la superficie definida por la función/(je, y) = 5 — x — 2y.

I Área Cuando/(A:, y) = 1 sobre R, entonces lím 2¡Li AA* dará simplemente el área A de la

región; esto es,

A-fídA. (4)

Fl G U RA 5.1.4 Paralelepípedos rectangulares sobre cada Rt en la

I Propiedades Las siguientes

...