Marita Integrales

Republica Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para Defensa.

UNEFA-Zulia.

Profesor: Lic. Wolfan Ordoñez

Alumno: José Miguel Salcedo Ch.

C.I:24.735.248.

Sección: 03-ISI-D07

Desarrollo

1) Integrales Dobles en Coordenadas Polares.

• Definición.

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si la función es aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a y a .

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es

Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a .

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

• Ejemplos.

a) Calcular el área entre los círculos de radio 1 y radio 2 con el mismo centro.

Solución.

Por facilidad, se considera que el centro de ellos es el origen (0,0), por lo que las ecuaciones de ellos son:

X2+y2=1. Y en coordenadas polares r=1.

X2+y2=4. Y en coordenadas polares r=2.

Puesto que las ecuaciones de los círculos son más sencillas en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares, se calcula el área en coordenadas polares. Para el análisis, se hace un bosquejo de la región (con winplot) y se traza un rayo desde el origen que cruce la región.

El rayo entra por el círculo de radio 1 y sale por el círculo 2, y el Angulo es desde 0 hasta 2 π para que el rayo pase por toda la region. La region se especifica con:

R={(r,θ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π, 1 ≤ r ≤ 2}.

Los limites para ambos, θ y r son cosntantes, por lo tanto, se puede utilizar cualquier orden de integracion dr dθ o dθdr. La Integral doble para el calculo del area es:

b) Calcular el area de la superficie limitada por la curva r=1-cos

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