Integrales Múltiples

INDICE

I. DATOS GENERALES 1

II. DISEÑO DE INVESTIGACION 2

II.a PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2

-ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACION 2

-FORMULACION DEL PROBLEMA 2

-PROBLEMAS ESPECIFICOS 2

-JUSTIFICACION DEL PROBLEMA 2

II.b OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION 2

-OBJETIVOS GENERALES 2

-OBJETIVOS ESPECIFICOS 2

II.c FUNDAMENTO TEORICO DE LA INVESTIGACION 2

-MARCO HISTORICO 2

-MARCO TEORICO 10

-MARCO CONCEPTUAL 10

II.d HIPOTESIS 10

II.e METODO DE LA INVESTIGACION 10

III. CONCLUSION 10

IV. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 10

IV.a ENLACES EN INTERNET 11

I. DATOS GENERALES

-TÍTULO DE PROYECTO: Integrales Múltiples

-INSTITUCIÓN EDUCATIVA: Universidad Peruana Unión

-DIRECCIÓN: Puno, Juliaca, chullunquiani, salida Arequipa km 6

-TELÉFONO Y E-MAIL: 983026208, yonatan.centeno1@gmail.com

-RESPONSABLE DEL PROYECTO: Hector Yonatan Huallpa Centeno

-ASESOR: Prof. Sergio Chupa Almanza

II. DISEÑO DE INVESTIGACION

II.a PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

-ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACION

-FORMULACION DEL PROBLEMA

En qué medida afecta el conocimiento de este tema de los integrales múltiples en los estudiantes de Ingeniería.

-PROBLEMAS ESPECIFICOS

Conocer a cerca de los integrales dobles en coordenadas cartesianas y polares.

Conocer los integrales triples en coordenadas esféricas y cilíndricas.

Conocer usando cambio de variables en integrales múltiples jacobianos.

Conocer integrales triples: centroide, centro de gravedad y teorema de pappus.

-JUSTIFICACION DEL PROBLEMA

Para conocer, analizar y resolver los ejercicios de los integrales múltiples.

II.b OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION

-OBJETIVOS GENERALES

Aprender y establecer los fundamentos básicos para reconocer y luego aplicarlas para la resolución de integrales dobles e integrales triples.

-OBJETIVOS ESPECIFICOS

Tener conocimiento de los integrales dobles, e integrales triples.

II.c FUNDAMENTO TEORICO DE LA INVESTIGACION

-MARCO HISTORICO

ORIGEN DE LOS INTEGRALES

El origen del cálculo integral se dio en segunda mitad del siglo XVII por Newton y Leibniz, con el teorema fundamental de cálculo, este teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. La formulación del teorema de cálculo de rotación por integrales se hizo por el matemático Kepler debido a un incidente en su segundo matrimonio cuando el mercader de vino tuvo un procedimiento de medición del volumen del vino que molesto a Kepler, fue que después de incidente Kepler comenzó a estudiar profundamente.

-MARCO TEORICO

INTEGRALES

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce una notación para la anti derivada de una función.

Si , se representa

Este grafico es denominado símbolo de la integral y a la notación se le llama integral indefinida de con respecto a x. La función se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama constante de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

Esto se lee integral de del diferencial de x.

Propiedades:

INTEGRALES MULTIPLES

En el primer curso de Fundamentos se planteó el problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una función positiva , el eje OX y las rectas , . Dicha área se representaba como .

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de .

El Teorema de Barrow nos asegura que si es tal que entonces

.

INTEGRALES DOBLES:

Recordamos que para hallar las integrales definidas de una función y=f(x), era requisito necesario que f sea continuo sobre el intervalo cerrado [a, b].

Ahora para hallar la integral doble de una función z= f(x, y); es necesario que f(x, y) sea continuo sobre una región cerrada

REGION EN

1 Definición

Sea . Diremos que D es una región, si es la unión de un conjunto abierto conexo con algunos, ninguno o todos sus puntos de frontera.

Definición de conjunto conexo

Sea . Diremos que D es conexo, si no existen dos subconjuntos A y B de no nulos tales que y .

Intuitivamente el conjunto conexo es aquel que está “hecha de una sola pieza”.

RECOMENDACIONES PARA CALCULAR UNA DOBLE INTEGRAL

1° Graficar correctamente la región E sobre la cual la función continua f(x, y) está definida.

2° Recordar las integrales más elementales.

3° La forma como se presenta la región E será un indicador que nos diga si conviene integrar en la forma a) o en la forma b).

FORMA A)

En este caso la región E está definida por

FORMA B)

En este caso la región E está definida por

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DOBLE

P1: REGLA DE LA LINEALIDAD

Sean: a y b dos constantes y f, g: funciones integrales en la región cerrada D, entonces af + bg es integral en la región D, y:

P2: REGLA DE LA DOMINACION

Si las funciones f, g: son integrales en la región cerrada D y , entonces:

P3: REGLA DE LA SUBDIVICION

Sea f: una función continua en la región cerrada D si la región donde y son regiones cerrada y disyuntas,

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