Integrales múltiples

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

FACULTAD DE CIENCIAS

INTEGRALES MÚLTIPLES

APLICACIONES

[pic 2]

Dr. DIONICIO MILTON CHÁVEZ MUÑOZ

(DOCENTE. UN/J. BASADRE G.)

TACNA                                2015                                PERÚ

INTEGRALES MÚLTIPLES - APLICACIONES

Introducción. 

Las integrales dobles, triples y en general las integrales múltiples son una generalización de las integrales indefinidas y definidas que se estudian en el cálculo para funciones reales de variable real.

En el cálculo de funciones reales se estudia la integral de funciones reales de la forma ; la integral indefinida queda expresada por la nueva función: . La integral definida sobre el intervalo cerrado  queda expresada por el número: . La integral indefinida y la integral definida se trabajan sobre intervalos de números reales.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Con una integral doble se pueden calcular áreas de regiones planas, volúmenes de sólidos, centros de masa, valor promedio de una función de dos variables, área de superficies, trabajo, etc. Aquí se integra funciones de dos variables de la forma l. La integral indefinida queda expresada por ; la integral definida sobre la región cerrada D queda expresada en la forma por el número . La integral indefinida y la integral definida se trabajan sobre regiones planas.[pic 7][pic 8][pic 9]

Para el estudio de las integrales múltiples se necesita conocer las funciones reales, gráfica de regiones planas en R2 y de superficies en el espacio R3, las integrales de funciones reales, así como las funciones de dos y tres variables.

1. LAS INTEGRALES DOBLES.

La integración se realiza sobre funciones de dos variables de la forma  y sobre una región de integración D, quedando la integral en la forma:  o también . Definamos primero algunos conceptos previos.[pic 10][pic 11][pic 12]

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1.1 DEFINICIÓN (FUNCIÓN ACOTADA).  Una función de dos variables f: D⊂R2 → R definida sobre el dominio D se dice que es acotada la región cerrada D si existen números reales r y s tales que para todos los puntos (x;y)∈D, se cumple: r ≤ f(x;y) ≤ s.

Es acotada en el sentido que cualquier valor de la imagen z=f(x;y) para puntos (x;y) del dominio se encuentra entre los valores r y s.

1.2 OBTENCIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE.

Sea  f: D⊂R2 → R una función acotada en la región cerrada D del plano R2 y sea f(x;y)>0 ∀(x;y)∈D.

i) Sobre la región D, trazando rectas paralelas a los ejes coordenados obtenemos un conjunto de m rectángulos {r1; r2;… ; ri;…; rm} contenidos enteramente en la región D.

ii) El conjunto de rectángulos P={r1; r2;… ; ri;…; rm} es llamado una partición de la región cerrada D.

iii) Denotemos por [pic 14] la norma de la partición P y se define como “la longitud de la mayor diagonal de todos los rectángulos contenidos en P”.

[pic 15]

iv) Siendo los lados del i-ésimo rectángulo Δxi , Δyi, entonces su área será A(ri)=(Δxi)(Δyi) y así se puede dar para cada rectángulo de la partición P.

v) Tomando un punto (xi ; yi) cualquiera dentro del rectángulo ri obtenemos la suma de Riemann de la función f asociada a la partición P y se tendrá la suma de Riemann: [pic 16]=[pic 17].

vi) Geométricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del sólido que se encuentra por debajo de la superficie z=f(x;y) y por sobre la región D.

¿Cómo obtener el volumen exacto del solido formado bajo la superficie y por sobre la región cerrada D?

1.3 DEFINICIÓN (LÍMITE DE LA SUMA DE RIEMANN).  Sea f: D⊂R2 → R una función acotada, definida en la región cerrada D. Un número L es el límite de la suma de Riemann si: [pic 18]. Equivalentemente: Un número L es el límite de la suma de Riemann [pic 19], si ∀ε>0, ∃σ>0/ para toda partición P con [pic 20] y todo punto (xi;yi) ∈ri, i=1;2;…m, entonces [pic 21].

1.4 DEFINICIÓN (INTEGRAL DOBLE).  Sea f: D⊂R2 → R una función acotada. Se dice que f es integrable en D si existe el número real L de la definición anterior. El número L es llamado la integral doble de f sobre el dominio D y se escribe:  [pic 22]= [pic 23].

A la pregunta: ¿Cómo hallar la integral doble? ¿Cómo hallar el valor L?

La respuesta es mediante la integral iterada. Pero falta consolidar el nexo entre integral doble y la integral iterada, como se verá más adelante.

1.5 PROPOSICIÓN (FUNCIÓN INTEGRABLE).  Si una función f: D⊂R2 → R es continua en la región cerrada D, entonces f es integrable en D.

2. INTEGRALES ITERADAS.

2.1 INTRODUCCIÓN. Se denomina integral iterada a la integral definida que se calcula respecto a cada una de las variables de la función de dos variables z=f(z;y). Una función de dos variables tendrá dos órdenes de integración a saber son: (1) dA=dy⋅dx, (2) dA=dy⋅dx. Ambos órdenes de integración nos deben llevar al mismo resultado.

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