Automatizacion

Tarea 2

Automatización Industrial

Nombre: Octavio Briones

Se tiene el siguiente sistema mecánico:

Única entrada u(t).

Dos variables temporales de salida dadas por los desplazamientos de las masas x_1 (t) y x_2 (t).

Donde el sistema es modelado por las ecuaciones diferenciales:

■(k_1 (u〖-x〗_1 ) =m_1 (d^2 x_1)/(dt^2 )+k_2 (x_1-x_2 )+c((dx_1)/dt-(dx_2)/dt)@k_2 (x_(1 )-x_2 )+c((dx_1)/dt-(dx_2)/dt) = m_2 (d^2 x_2)/(dt^2 ))

Se pide:

Encontrar la función de transferencia para: X_1/U

Encontrar la función de transferencia para: X_2/U

Escribir el diagrama amortiguado

Desarrollo y solución.

Las ecuaciones dadas para el sistema resultan equivalentes a

■(m_1 (d^2 x_1)/(dt^2 )+c (dx_1)/dt+(k_1+k_2 ) x_1 = c (dx_2)/dt+k_2 x_2+k_1 u@m_2 (d^2 x_2)/(dt^2 )+c (dx_2)/dt+k_2 x_(2 )= c (dx_1)/dt+k_2 x_1 )

Aplicando Transformada de Laplace a estas dos ecuaciones, y asumiendo condiciones iniciales nulas, queda:

(m_1 s^2+cs+k_1+k_2 ) 〖 X〗_1 (s) = (cs+k_2 ) X_2 (s)+k_1 U(s) (1)

(m_2 s^2+cs+k_2 ) X_2 (s) = (cs+k_2 ) 〖 X〗_1 (s) (2)

Donde X_1 (s) y X_2 (s) son las Transformadas de Laplace de x_1 (t) y x_2 (t) respectivamente. Luego, despejando X_2 (s) se obtiene:

X_2 (s) = ((cs+k_2 ) 〖 X〗_1 (s))/(m_2 s^2+cs+k_2 )

Así, reemplazando en la ecuación (1) queda:

■( (m_1 s^2+cs+k_1+k_2 ) 〖 X〗_1 = ((cs+k_2 )^2 〖 X〗_1)/(m_2 s^2+cs+k_2 )+k_1 U@□(⇒┴ ) ((m_1 s^2+cs+k_1+k_2 )(m_2 s^2+cs+k_2 )-(cs+k_2 )^2 ) X_1 = k_1 〖(m〗_2 s^2+cs+k_2) U)

De aquí obtenemos:

X_1/U= (k_1 〖(m〗_2 s^2+cs+k_2) )/((m_1 s^2+cs+k_1+k_2 )(m_2 s^2+cs+k_2 )-(cs+k_2 )^2 )

Usando el resultado inmediatamente anterior y la ecuación (2) obtenemos el segundo resultado buscado:

X_2/U= (k_1 (cs+k_2) )/((m_1 s^2+cs+k_1+k_2 )(m_2 s^2+cs+k_2 )-(cs+k_2 )^2 )

Con los resultados alcanzados es posible completar el diagrama amortiguado solicitado como se ve en la siguiente figura:

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