Bloques de construcción de las matemáticas
gabianizApuntes27 de Marzo de 2019
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Bloques de construcción de las matemáticas: 1. Términos indefinidos o primitivos (no necesitan definición) 2. términos definidos (requieren una definición) 3.axiomas o postulados (leyes o propiedades que son ciertas y que se aceptan sin discusión 4. Teoremas o proposiciones (no son tan evidentemente ciertas y hay que demostrar) 5. Corolario (teoremas que son consecuencias o casos particulares de un teorema previo)
Lema afirmación o enunciado (es una oración que puede clasificarse como cierta o falsa) ejemplos: está lloviendo, siéntate y mantente callado (No es una oración de enunciado o afirmación), se sento y se mantuvo callado (es una oración de afir.)
Afirmación o enunciado compuesto (contiene mas de un enunciado y tienen una conexión (‘y’) (se sento y se mantuvo callado) Variables-signos o letras que se usan para representar algo (esta lloviendo: p) afirmaciones compuestas (p y q)
Tabla de verdad (esquema en donde se recogen los valores de verdad -ciertas o falsas- de una afirmación compuesta y de sus enunciados.
Ejemplo: 1) p^q p q p^q 2) pvq p q pvq
Caso 1 c c conjucion cierta caso 1 c c disyunción cierta
Caso 2 c f falsa caso 2 c f cierta
Caso 3 f c falsa caso 3 f c cierta
Caso 4 f f falsa caso 4 f f falsa
3) pṿq p q pṿq
Caso 1 c c disyun, ex, falsa
Caso 2 c f cierta
Caso 3 f c cierta
Caso 4 f f falsa
Anunciados de negación -p (no p) ejemplos: esta lloviendo (no esta lloviendo), la primavera ocurre después del invierno (la primavera ocurre antes del invierno) tabla de verdad para la negación. P -p
Caso 1 c f
Caso 2 f c
Ejemplos: aquí el profesor dio una lista de frases y le puso letras -p,q,r,s,t- y tambien le puso si eran ciertas o falsas, asi que no estará completo el ejercicio. 1) esta lloviendo y me puse los zapatos nuevos (es una conjunción, p˄q y es falsa pq solo hay una cierta y en la conjunción las dos tienen que ser ciertas. 2) no esta lloviendo (es una negación, -p, falsa)
Tabla de verdad mas elaborada 1) (pvq) v (-p) 2) [p ṿ (-p)] ˄ p
P q pvq -p (pvq) v (-p) p q -q pṿ(-q) [pṿ(-q) ˄p
Caso 1 c c c f c caso 1 c c f c c
Caso 2 c f c f c caso 2 c f c f f
Caso 3 f c c c c caso 3 f c f f f
Caso 4 f f f c c caso 4 f f c c f
Tautología- afirmación o enunciado que sera cierta en todos los posibles casos (ejemplo 1 arriba es un tautología)
Equivalente es si tienen los mismos valores de verdad en todos sus posibles casos correspondientes
Reciproco o converso de la condicional p 🡪 q ejemplo: condicional- si esta lloviendo, entonces te vengo a buscar en el carro. Reciproco- si te vengo a buscar en el carro, entonces esta lloviendo.
Inverso de la condicional ejemplo: condicional- si esta lloviendo entonces te vengo a buscar en el carro. Inverso- si no esta lloviendo, entonces no te vengo a buscar en el carro. Bicondicional de p con q ejemplo: mi mama me ama si y solo si yo soy bueno. Significa que mi mama me ama si soy bueno y si yo soy bueno entonces mi mama me ama.
Afirmación: símbolo: conexión: cuando es c:
Conjunción p˄q y cuando ambas son ciertas
Disyuncion pvq o cuando al menos una es cierta
Disyun. Exclu. pṿq o..o(una pero no ambas) cuando solo una es cierta
Condicional p->q si…. Entonces en todos los casos menos en 1(cuando la Pimera es cierta y la segunda falsa.
Bicondicional p🡨->q si y solo (o solamente) si cuando ambas son ciertas o ambas falsas
Condicion suficiente- tiene que pasar obligado lo primero y si pasa lo primero obligado sucederá lo segundo. Ejemplo: está lloviendo es una condición suficiente para que me vengan a buscar en el carro; venirte a buscar en el carro es una condición necesaria para que este lloviendo.
Formato de demostración: por parrafos, por columnas (paso y razón/justificación) ejemplo: (el profesor daba unas oraciones y les daba una letra luego teníamos que decir por la letra tal, paso esto, por la letra tal paso esto otro. también está la prueba de existencia (se procede por construcción- aquí el profesor dio las partes del cerdo separado y abajo tenía que formarlo, aunque el jabalí también tenía las mismas partes) prueba de existencia única- (aquí se supone que hay otro ente con las mismas características y se tiene que argumentar válidamente hasta encontrar que el segundo ente es el mismo que el teorema alega que es único. Método de la doble prueba (se utiliza para demostrar teoremas que estén en la forma de incondicional- p🡨🡪q hacerlo primero para un lado y luego para el otro
Argumento- es un esquema que contiene datos (dos o más) y conclusiones (2 o más)
Argumento válido- la condicional que tiene por hipótesis a la conjunción de sus datos y como conclusiones a una de sus conclusiones es una tautología.
Argumento no valido- se dice que es una falacia o un sofisma.
Axioma propiedades fundamentales de la relación de la igualdad. ley reflexiva (x=x un ente es igual a el mismo) ley simétrica (x=y🡪 y=x una primera cosa es igual a la segunda y la segunda es igual a la primera) ley transitiva (x=y) ˄ (y=z) 🡪 x=z si un marcador es igual al 2 marcador y el 2 marcador es igual al 3 marcador entonces el 1 es igual al 3 marcador. Ley de sustitución (si x=y entonces en cualquier enunciado el que aparezca ‘x’ podemos poner ‘y’ y viceversa, sin cambiar el valor de verdad de el enunciado. Ej. Gabriela esta matriculada en matriculada (cierto) y pongo Gaby esta matriculada en matemáticas (sigue siendo cierto)
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