COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR

COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:

Plantear y resolver integrales dobles y triples a partir de una situación propuesta, eligiendo el sistema de coordenadas más adecuado                                           .

En esta unidad se concluye el estudio de cálculo de funciones de múltiples variables con las definiciones y aplicaciones de integrales definidas en dos y tres dimensiones; se extiende el concepto de integral definida de una función de una variable a funciones de varias variables. Estas integrales se denominan de manera común integral doble  y la integral triple, respectivamente.

5.1) COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

Antes de iniciar el estudio de las integrales múltiples y de sus aplicaciones, se estudian dos nuevos sistemas de coordenadas para el espacio tridimensional:

• Coordenadas cilíndricas.
• Coordenadas esféricas.

El sistema de coordenadas cilíndricas es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. La representación en coordenadas cilíndricas de un punto  es , donde  y  son las coordenadas polares de la proyección de  en el plano polar y  es la distancia dirigida desde el plano polar hasta . [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 12][pic 11]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

CONVERSIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A COORDENADAS RECTANGULARES:

La relación entre coordenadas cilíndricas  y las coordenadas rectangulares  de un punto se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:[pic 16][pic 17]

                                  [pic 18][pic 19][pic 20]

CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS CILÍNDRICAS:

Para convertir las coordenadas rectangulares  de un punto en coordenadas cilíndricas , se utiliza:[pic 21][pic 22]

                                  [pic 23][pic 24][pic 25]

Ejercicio 5.1:

1. Convierta el punto  del sistema de coordenadas cilíndricas, al punto de coordenadas rectangulares  :[pic 26][pic 27]

1. Convertir el punto  de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:[pic 28]

1. Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para las siguientes superficies, cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas cilíndricas:

1. [pic 29]

1. [pic 30]

[pic 31]

Tarea 5.1

1. Convierta el punto dado de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares:

1.                 b)  [pic 32][pic 33]

1. Convierta el punto dado de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:

1.                   b)   [pic 34][pic 35]

1. Convierta las ecuaciones rectangulares dadas a coordenadas cilíndricas:

a)            b)   [pic 36][pic 37]

1.  Convierta las ecuaciones dadas a coordenadas rectangulares:

1.                    b)   [pic 38][pic 39]

1. Encontrar la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide definido por la ecuación .[pic 40]

En un sistema de coordenadas esféricas se tiene un plano polar y un eje z perpendicular al plano polar, con el origen del eje como el polo del plano polar. Mediante tres números se localiza un punto, y la representación en coordenadas esféricas de un punto  es .[pic 41][pic 42]

[pic 43][pic 44]

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[pic 46]

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[pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55][pic 56]

[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Las coordenadas esféricas se utilizan frecuentemente cuando en un problema físico se tiene un punto como centro de simetría. Como en el sistema de coordenadas cilíndricas, las coordenadas esféricas se pueden transformar a coordenadas rectangulares y por tanto a coordenadas cilíndricas, para ello se utilizan las siguientes ecuaciones:

Conversión de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y coordenadas cilíndricas:

                                  [pic 65][pic 66][pic 67]

                                                          [pic 68][pic 69][pic 70]

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:

                                  [pic 71][pic 72][pic 73]

Ejercicio 5.2:

1. Convertir las coordenadas esféricas del punto  en coordenadas rectangulares y en coordenadas cilíndricas, e identifique los puntos en el espacio.[pic 74]

[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

[pic 80][pic 81][pic 82]

[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

[pic 89]

1. Obtenga una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie expresada por la ecuación [pic 90]

[pic 91]

Tarea 5.2: 

1. A Convierta el punto dado de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y coordenadas cilíndricas.

1.                   b)    [pic 92][pic 93]

1. Convierta la ecuación dada a coordenadas esféricas:

1.           b)   [pic 94][pic 95]

1. Convierta la ecuación dada a coordenadas rectangulares y a coordenadas cilíndricas:

1.                   b)   [pic 96][pic 97]

5.2) LA INTEGRAL DOBLE

Recordando lo visto en Cálculo Integral, la definición de la integral definida de una función de una sola variable está dada por el límite de una suma de Riemann:

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