Calculo Diferencial

TRABAJO COORPORATIVO N°3 DE CALCULO DIFERENCIAL

FASE 1

Hallar la ecuación de la recta de la tangente a la curva

y=2cosx para x=0 ,cos⁡〖0=1〗

Solución:

dy/dx= -2sen2x →m=dy/dx |_(x=0)=-2sen0=0

Por tanto y-y_1=m(x-x_1) donde el punto P es P(0,1)

y-1=0(x-0)=0 →y=1 es la ecuacion de la recta tangente en el punto p(0,1)

h(x)=x/√x halle el valor de h’’(3)

h(x)=(〖(√(x))〗^2 )/√x= √x = x^(1/2)

Entonces h^' (x)=1/2 x^(-1/2) ; h^'' (x)= -1/4 x^(-3/2)= -1/(4x^(3/2) )

Entonces h^'' (3)=-1/(4(3)^(3/2 ) )= -√3/36

Hallar la derivada de las siguientes funciones

f(x)=〖sen〗^2 2x

Solución: f^' (x)=2(sen2x)cos2x.d/dx(2x)

f^' (x)=2(sen2x.cos2x)(2x)=4sen2xcos2x=2sen 4x

FASE 2

f(x)=ln⁡〖x^3 〗/(lnx^(5 ) )

Solución: f(x)=3lnx/5lnx=3/5 usando la propiedad de los logaritmos lnx^n=nlnx entonces

f´^' (x)=d/dx (3/5)=0

f^' (x)=x/e^(x ) que se deriva como el cociente de las funciones

f^' (x)=(e^x (1)-xe^x)/e^2x =((1-X) e^x)/e^2x =((1-X))/e^x =(1-X)e^(-x)

También se puede hacer derivando reescribiendo

f(x)=xe^(-x) y se deriva como el producto de dos funciones f^' (x)=x d/dx (e^(-x) )+ e^(-x) d/dx (x)=x(- e^(-x) )+1-e^(-x)=(1-x) e^(-x)

Hallar paso a paso la cuarta derivada de f(x)=e^x lnx

f´(x)=e^x d/dx (lnx)+(lnx) d/dx (e^x )= e^x (1/x)+(lnx) e^x=e^x/x+ e^x lnx

f^'' (x)=(xe^x- e^x (1))/x^2 +e^x/x+e^x lnx=(2e^x)/x-e^x/x^(2 ) +e^x lnx

f^'' (x)=2(xe^x-e^x )/x^2 -(x^2 e^x-2xe^x)/x^(4 ) +e^x/x+e^x lnx=(3e^x)/x-(3e^x)/x^2 +(2xe^x)/x^(4 ) +e^x lnx=(3e^x)/x-(3e^x)/x^2 +(2e^x)/x^(3 ) +e^x lnx

f^'''' (x)=(3xe^x-3e^x)/x^(2 ) -3(x^2 e^x-2xe^x )/x^4 +2(x^3 e^x-3x^2 e^x )/x^6 +e^x/x+e^x lnx=(4e^x)/x-(6e^x)/x^(2 ) +(8e^x)/x^3 +(6e^x)/x^(4 ) + e^x lnx

FASE 3

Usando la regla de L’lopital halle el siguiente limite:

lim┬(x→0)⁡((cosx-1)/senx)

Solución:

lim┬(x→0)⁡〖((cosx-1)/senx)=lim┬(x→0) (((d/dx (cosx-1))/d)/dx (sen x))=lim┬(x→0) ((-senx)/cosx)=-se0/cos0=-0/1=0〗

Usando L’Hopital hallar el lim┬(x→2)⁡〖(x^2+2x-8)/(x^2-x-2)〗 de la forma 0/0 indeterminada

Solucion:

lim┬(x→2)⁡〖(x^2+2x-8)/(x^2-x-2)〗=lim┬(x→2)⁡〖(d/dx (x^(2 )+2x-8))/(d/dx (x^2-x-2) )〗= lim┬(x→2)⁡〖(2x+2)/(2x-2)〗=(2(2)+2)/(2(2)-1)=2

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