Calculo I La Ecuacion de la parabola

[pic 1]

Le ha llegado la invitación para participar en el diseño de una cancha de skate. Para ello, debe considerar que los “skaters” se lanzan de una plataforma de 3 metros de alto, ubicada a la derecha (A), hacia una rampa que está a la izquierda (B), donde disminuyen su rapidez al subir por ésta, tal como se observa en la figura.

[pic 2]

1.- Identifique y Clasifique la Ecuación General de la Parábola:

La Ecuacion de la parabola esta dada por la forma

ax2+bx+c  donde a>0  y   Δ= b 2 - 4ac < 0, además debe pasar por el intervalo 2

2.- Señale y aplique tres conceptos que se debe aplicar para resolver el problema y diseñar la rampa que los skaters necesitan:

Para desarrolar el problemas se debe tener en cuenta, que intervienen 3 curvas que deben se intersectadas en 2 puntos.

En este caso la curva dada por la recta formada en la seccion A, la parabola entre la seccion A y B y la recta en la seccion B.

Dados los puntos se debe identificar las ecuaciones de estas curvas e intersectarlas en los puntos solicitados en A y B, lo que daria la forma de esta cancha para skaters.

Por lo tanto se debe, identificar las ecuaciones, intersectarlas en los puntos solicitados, e igualar la pendinte de la curva de la seccion B con la pendinete de la parabola en ese punto, que es este caso seria la derivada de la parabola en ese punto.

3.- Desarrolle paso a paso la evolución de la parábola.

Primero identificaremos los puntos que pertenecen a las rectas.

Recta de seccion A: A(4,3),(7,3).

Por lo tanto la ecuacion que define esa recta es:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Reca seccion B: B(0,1.5), (2,1)

Por lo tanto la ecuacion que define esa recta es:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Para igualar las pendiente de la parabola con la recta B de debe cumplir

.[pic 9]

Es decir que la ecuacion de la recta de la esta dada en x=2 por

[pic 10]

[pic 11]

En x=2, la  ecuacion de la parabola debe ser:

4a+2c+c=1

Y en x=4, la ecuacion de la parabola debe ser:

16a+4b+c=3

Entonces nos queda el sistma de ecuacion siguiente

4a+b= . ecuacion de la recta tangente [pic 12]

4a+2b+c=1 ecuacion de la parabola en el punto B donde x=2

16a+4b+c=3 ecuacion de la parabola en el punto 1 donde x=4

Resolviendo ecuaciones con el sistema de Eliminación de Gauss-Jordan : 

[pic 13]

f2.= f2-f1 . [pic 14][pic 15]

f3=f3-4f1  . ∼[pic 16]

de f3 se tiene   c =4.

Con esto resolvemos: f2 =  [pic 17]

→b+4  =  →. b=  [pic 18][pic 19]

Con esto resolvemos f1 .

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Entonces tenemos

, b=  , c=4[pic 23][pic 24]

 Por lo tanto la ecuacion de la parabola es:

[pic 25]

[pic 26]

+4). =  .[pic 27][pic 28]

Evaluamos en x=2

[pic 29]

Por lo tanto ser cumple que la pendiente de la parabola +4 es igual a la pendiente de la recta B =[pic 30][pic 31]

...