Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales

Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar tapas de refrescos desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor. Según su estadística, la ecuación que representa el número de tapas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 20x donde  señala la cantidad de tapas recolectadas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 9,000 tapas que ha recolectado por su cuenta.

¿Cuál es el punto máximo del número de tapas que se recolectan, así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? (No olvides que los resultados son en miles).

Para obtener el punto máximo lo que se debe hacer es derivar f(x)= -x2 + 20x .

𝑓^1 (𝑥)=−2𝑥^(2−1)+20𝑥^(1−1)=

𝑓^1 (𝑥)=−2𝑥+20=

Después de haber derivado, el siguiente paso es igualarla a cero, esto lo hacemos para poder despejar la el valor de “x”

−2𝑥+20=0

Despejamos “x”.

−2𝑥=20

𝑥=(−20)/(−2)=10

Después de haber encontrado el valor de “x” o el punto máximo lo que sigue es sustituir “x” en la función principal lo que resulta es “y” f(x)= -x2 + 20x .

Entonces

𝑦=𝑥^2+20𝑥

Ahora sigue sustituir valores y queda de la siguiente forma.

𝑦=−(10)^2+20(10)=−100+200=100

Y el resultado al punto máximo quedaría (10,100)

Pero como el resultado lo queremos en miles quedaría de la siguiente forma(10,100 000)

Para saber en que tiempo ya no se recolectan tapas debemos hacer y resolver la siguiente ecuación con la formula principal.

𝑥=(−𝑏±√(𝑏^2−4𝑎𝑐))/2𝑎

f(x)= -x2 + 20x .

Donde

a=-1

b=20

c=0

Como ya sabemos el siguiente paso es sustituir valores

𝑥=(−20±√(〖20〗^2−4(−1)(0)))/(2(−1))=

(−20±√(400+0))/(−2)=(−20±20)/(−2)=

𝑥_1=(−20+20)/(−2)=0/(−2)=0

𝑥_2=(−20−20)/(−2)=(−40)/(−2)=20

¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de tapas que se juntaron?La relación entre el tiempo y numero de tapas es que conforme pasa el tiempo va aumentando hasta llegar al punto 10 y después vuelve a disminuir empezando de cero y terminando en el punto 20 con cero. ¿cuál sería el total de tapas en punto máximo en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad?

Este resultado lo obtengo haciendo la suma de los resultados obtenidos en la anterior tabla que marque de amarillo de x0 hasta x10 mas las tapas que ya teníamos en existencia es igual a 9000+715,000=724,000

 Obtén la ecuación de la recta secante a partir de la función derivada (de la que ya te fue dada anteriormente) y el valor de su pendiente. Luego, intégrala en la misma gráfica anterior

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