Calculo.

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales

1. Dado , donde y , demuestre que

Observemos que xz - yz = (-z)((-x)+y)= (-z)(y-x). Como x < y sabemos que y- x > 0 y también sabemos que -z > 0 ya que z < 0. El producto de dos números positivos es positivo (por los axiomas de orden), luego(-z)(y- x) > 0 y esto demuestra que xz - yz > 0.

2. Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .

Por la definición de < y por la propiedad de cerradura de los R positivos para xy, obtendremos que:

0<x<y------ (x-y) ϵ R+ y 0<z<w ----- (z-w) ϵ R+ se obtiene z(y-x)+(z-w)x ϵ R+

Desarrollando la expresión anterior obtendremos zy –wx ϵ R+ por la definición de < se tendrá entonces que xz < yw

3. Demuestre por inducción matemáticas que dados tales que demostrar que para cualesquiera .

El principio de inducción matemática nos dice que se deben de cumplir con el axioma de tricotomía el cual dice que xn=yn, xn>yn y xn<yn y solo una de ellas es verdadera.

xn-yn ϵ R+

-( xn-yn) ϵ R+

( yn-xn)=0

Esto significa que:

xn< yn con lo cual se demuestra -xn>yn y xn=yn

4. Resolver la ecuación .

Se tiene que x+2x-5=1+ x por lo que

3x-5=1+x

3x-x=1+5

2x=6

x=6/3=3

Si sustituimos la en la ecuación

3(3)-5= 1+3

4=4

5. Resolver la desigualdad .

x2-x-12 mayor o igual a 0, por lo que tenemos una ecuación cuadrática (x+3)(x-4) mayor o igual a 0.

6. Resolver la desigualdad .

x+1/x-1 mayor o igual a 2

x+1 mayor o igual a 2(x-1)

x+1 mayor o igual a 2x-2

x-2x mayor o igual -2-1

-x mayor o igual a -3

x menor o igual a 3

7. Demuestre que para cualesquiera y .

La condición y diferente de 0 tiene el objetivo único de asegurar que los cocientes existan y se pueda realizar la fracción, ya que de ser 0 esta operación no sería posible.

8. Resolver la desigualdad .

x2+4x+10= 0

Esto para poder calcular los intervalos del valor de x aplicando la formula general tendremos un x y un –x.

Tenemos entonces que para cada número real x se cumple

x2+4x+10 menor a 0

o

x2+4x+10 mayor 0

como x=0 por lo tanto 02+4(0)+10 mayor a 0 equivale a 10mayor a 0 y se cumple.

...