Calculo

una función alcance un extremo ( máximo o mínimo) en un punto xo, es que la derivada en ese xo sea nula.

La función que nos dan es de costo total para q unidades. Como la funcón que nos piden optimizar es la de costo por unidad, llamándola Cu ( q ):

Cu ( q ) = C ( q ) / q = ( q²/4 - 3q + 400 ) / q = q / 4 -3 + 400 / q

Hallamos su derivada:

Cu ' ( q ) = 1 / 4 - 0 - 400 / q ^2

E igualamos a 0

Cu ' ( q ) = 1 / 4 - 0 - 400 / q ^2 = 0 <----> 400 / q ^2 = 1 / 4 <---> q^2 = 1600 < --->

q = + - 40 ---- obviamente, en el contexto de este problema desechamos la solución negativa.

Para este valor pues, la funciión costo promedio por unidad alcanza un mínimo.

El valor de ese costo por unidad se calcula sustituyendo este valor de q en la expresión obtenida para Cu ( q )

Cu ( q ) = q / 4 -3 + 400 / q --> Cu ( 40 ) = q / 4 -3 + 400 / q => Cu ( 40 ) = 17

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