Campo fuera de un medio dielectrico

CAMPO FUERA DE UN MEDIO DIELÉCTRICO

Consideremos una porción finita de material dieléctrico polarizado,  es decir,  que está caracterizada en cada punto  por una polarización   La polarización da origen a un campo eléctrico,  y  nuestro problema es calcular este campo en un punto  que está fuera de la masa del dieléctrico (véase la Fig. 4.2). Como en el capítulo 2. encontraremos más conveniente calcular primero el potencial  y luego obtener el campo eléctrico como menos el gradiente de [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

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El campo eléctrico en  se puede calcular sumando las contribuciones debidas a los diversos elementos de volumen  en . La superficie de  se denota con [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Cada elemento de volumen   del medio dieléctrico se caracteriza por un momento dipolar  y, como la distancia entre  y  es grande comparada con las dimensiones de , este momento dipolar determina completamente la contribución de las cargas en  al potencial:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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Aquí,  es el vector, dirigido hacia aguera de  , cuya magnitud está dada por[pic 19][pic 20]

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El potencial total en el punto  se obtiene sumando las contribuciones de todas las partes del dieléctrico:[pic 22]

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Este resultado es correcto, y  puede calcularse directamente a partir de la ecuación (1.3) si se conoce la forma funcional de . Sin embargo, nos interesa expresar la ecuación (1.3) en una forma diferente por medio de una transformación matemática sencilla.[pic 24][pic 25]

Si  está dada por la ecuación (1.2) entonces[pic 26]

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cómo puede verse por la aplicación directa del operador gradiente en coordenadas cartesianas.  El operador  contiene derivadas con respecto a las coordenadas primas. En ciertas circunstancias,  es conveniente efectuar un operador gradiente con respecto a las coordenadas no primas; esto se indicará en la forma usual con . Evidentemente.  operando sobre una función de  es igual a  operando sobre la misma función. Necesitaremos el operador  más adelante para obtener el campo eléctrico en un punto . Sin embargo, al resolver la integral (1.3) sobre el volumen dieléctrico Vo, el punto r se mantiene fijo.  Por tanto,  el integrando de (1.3) puede transformarse mediante la ecuación (1.4):[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

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La ecuación (4-9) puede transformarse aún más mediante las identidades vectoriales

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donde  es cualquier función puntual escalar y  es una función puntual vectorial arbitraria.  Aquí,  nuevamente, la prima indica derivación con respecto a las coordenadas primas.  Si  y ,  el integrando,  o  sea,  la ecuación  (1.5),  se convierte en[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

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Finalmente, el potencial, puede expresarse como

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donde la integral de volumen de  ha sido sustituida por una integral de superficie aplicando el teorema de la divergencia,  y   es la normal hacia afuera del elemento de superficie da' (hacia afuera significa fuera del dieléctrico).[pic 43][pic 44]

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Porción de material dieléctrico polarizado. Cada elemento de volumen .se representa como un dipolo [pic 46]

La densidad superficial de carga de polarización está dada por la componente de polarización normal a la superficie,  y la densidad de carga volumétrica de la polarización es una medida de la no uniformidad de la polarización dentro del material.

El potencial debido al material dieléctrico

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se expresa ahora de tal manera que es evidente que proviene de una distribución de carga.  En otras palabras,  el material dieléctrico se ha sustituido por una distribución adecuada de cargas de polarización.

Aunque la ecuación (1.9) se ha obtenido por medio de una transformación matemática,  debería  ser posible entender  argumentos puramente  físicos.  Que existe una densidad de carga superficial  es evidente de la figura, en la que se ve que esta carga se forma a partir de los extremos de dipolos con igual orientación. De este modo,  se crea una densidad de carga en cada superficie que no sea paralela al vector de polarización.  Volviendo ahora a  es de esperar que  represente el exceso de carga o la carga neta del elemento de volumen . Puede verse que éste es realmente el caso de la siguiente manera: definamos dos densidades de carga[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

 como representantes de la carga total positiva y de la carga total negativa por unidad de volumen,  respectivamente.  Esto es,   representa todos los núcleos atómicos por unidad de volumen del dieléctrico y, de forma similar,  representa todos los electrones.  En el estado no polarizado,  cada elemento de volumen del dieléctrico es eléctricamente neutro. Por tanto,[pic 54][pic 55][pic 56]

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donde el subíndice cero representa las densidades en la configuración no polarizada. Supongamos que.  como consecuencia de la polarización,  la carga positiva es desplazada un  y la negativa un. La carga positiva que atraviesa un elemento de área da' es   . Por tanto, la ganancia de carga positiva del elemento de volumen \v' durante el proceso de polarización es[pic 58][pic 59][pic 60]

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donde  es la superficie que limita . [pic 62][pic 63]

Análogamente, el desplazamiento de la carga negativa aumenta la carga (disminuye la carga negativa) en en[pic 64]

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La ganancia total en la carga del elemento de volumen  es la suma de las ecuaciones (1.11) y (1.12) y, como consecuencia de (1.10), puede expresarse en la forma[pic 66]

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Pero  es sólo el desplazamiento relativo de las densidades de carga positiva y negativa y, por tanto,  es equivalente a lo que hemos llamado polarización .  Así pues,   es la carga neta en un elemento de volumen del dieléctrico polarizado. [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

A primera vista puede parecer bastante extraño que.  habiendo empezado con elementos de volumen eléctricamente neutros de material dieléctrico,  finalicemos con elementos de volumen que tienen una carga neta. Según nuestro punto de vista original. el dieléctrico se compone de dipolos elementales  , y era esencial que cada  fuera eléctricamente neutro para que la ecuación  (1.1) diera el potencial correctamente. Ahora vemos que mientras  no se anule, los elementos de volumen individua­ les parecen estar cargados.  El origen de esta aparente paradoja se encuentra en la transformación matemática (1.7).  La contribución de cada elemento de volumen se transforma en un término de volumen diferente y en un término de superficie. La carga total del volumen y de la superficie del elemento es aún cero, pero cuando reunimos varios elementos de volumen para formar una pieza macroscópica de material dieléctrico,  encontramos que las contribuciones al potencial de las diversas “superficies internas” se eliminan.  Nos quedan efectivamente elementos de volumen cargados y una contribución superficial de la frontera real del cuerpo dieléctrico.[pic 72][pic 73][pic 74]

La carga de polarización total de un cuerpo eléctrico,

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debe ser igual a cero, ya que nuestra premisa fue que el dieléctrico, como un todo, era eléctricamente neutro.  Este resultado es evidente de la forma de la ecuación (1.14). que claramente se anula como consecuencia del teorema de la divergencia.

Tenemos ahora dos expresiones distintas para el potencial electrostático  generado por una muestra de dieléctrico polarizado,  es decir,  las ecuaciones (1.3) y (1.9). Ambas son correctas, pero veremos que la última expresión es la más conveniente en la mayoría de los casos. El campo eléctrico  puede obtenerse como menos el gradiente de la ecuación (1.9). Como epes una función de las coordenadas (x, y, z). el gradiente adecuado es  .  [pic 76][pic 77][pic 78]

Las coordenadas no primas aparecen sólo en la función  . En consecuencia, observando que  y empleando la ecuación (1.4), obtenemos[pic 79][pic 80]

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Milford página 99

Ecuaciones de Laplace y de Poisson

Una aproximación útil para el cálculo del potencial eléctrico se consigue relacionando ese potencial con la densidad de carga a la que da lugar. El campo eléctrico se relaciona con la densidad de carga por la relación de divergencia.

El interés del problema de contorno que se estudia en este capítulo radica en que permite modelar numerosos problemas de física en régimen estacionario. Entre ellos se pueden destacar los de transmisión de calor, flujo en medios porosos, torsión de Saint-Venant, electrostática, magnetostática, flujo irrotacional de fluidos ideales, lubricación, distribución de presiones hidrodinámicas sobre superficies en movimiento, etc.

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