Cinemática De Un Solido

Mec´anica I

Tema 2

Cinem´atica del S´olido

Manuel Ruiz Delgado

27 de septiembre de 2010

Orientaci´on o actitud 3

Modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Grados de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Grados de Libertad de un S´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Sistemas de referencia y vectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Vectrices y matrices de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Configuraci´on del s´olido r´ıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Matriz de rotaci´on del s´olido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Matriz de giro y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Giro respecto a un eje fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Propiedades de las matrices de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Las matrices de rotaci´on son ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Matriz de giro con ´angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

´A

ngulos de Euler cl´asicos / Tait-Bryan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Sistemas de representaci´on de la actitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Campo de velocidades 26

Velocidad de un punto del s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tensor velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Propiedades del tensor velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Campo de velocidades del s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Propiedades del campo de velocidades del s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Propiedades del campo de velocidades: Axoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Axoides: ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Determinaci´on de la velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Aceleraci´on de un punto de un s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Aceleraci´on angular de un s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Estructura del campo de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Resumen de propiedades cinem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Movimiento plano 47

Movimiento Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Simplificaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Base y Ruleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Base y Ruleta ruedan sin deslizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

Propiedades de 3 planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Propiedades de 3 y 4 planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Aplicaciones: Mecanismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Traslaci´on circular y rotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Campo de aceleraciones plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Estructura del campo de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Centro de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2

´I

ndice

Orientaci´on o actitud

Campo de velocidades

Movimiento plano

Manuel Ruiz - Mec´anica I 2 / 61

Orientaci´on o actitud 3 / 61

Orientaci´on o actitud

Modelos

Grados de libertad

Grados de Libertad de un S´olido

Sistemas de referencia y vectrices

Vectrices y matrices de componentes

Configuraci´on del s´olido r´ıgido

Matriz de rotaci´on del s´olido r´ıgido

Matriz de giro y cambio de base

Giro respecto a un eje fijo

Propiedades de las matrices de giro

Las matrices de rotaci´on son ortogonales

Teorema de Euler

Matriz de giro con ´angulos de Euler

´A

ngulos de Euler cl´asicos / Tait-Bryan

Sistemas de representaci´on de la actitud

Manuel Ruiz - Mec´anica I 3 / 61

3

Modelos

Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientaci´on no influyen en el movimiento. Se

modela como un punto geom´etrico.

S´olido r´ıgido: Conjunto de part´ıculas finito o infinito cuyas distancias relativas se mantienen

constantes (y conocidas):

|rij | = Const. ∀ i, j

En cinem´atica, los puntos no tienen masa; en din´amica s´ı. En din´amica se usa tambi´en un

modelo continuo, adem´as del de puntos.

Un sistema de referencia cumple las propiedades anteriores, y en cinem´atica se considera

equivalente

...