Concepto de Determinante

1. Concepto de Determinante

Toda matriz cuadrada puede asociarse con un número real llamado su determinante. Históricamente el uso de determinantes se popularizo con el reconocimiento de patrones especiales que ocurren en soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo de esto se puede ver en la solución general del sistema de ecuaciones siguiente

[pic 1]

Se puede ver como:

          y        [pic 2][pic 3]

Dado que . Notar que ambas fracciones tienen el mismo denominador . Esta cantidad es llamada el determinante del coeficiente de la matriz A.[pic 4][pic 5]

Otros usos de las matrices pueden ser:

• Buscar la adjunta de una matriz
• Regla de cramer
• Area, Volumen y ecuaciones de líneas y planos

1. Propiedades de los determinantes

Enumeraremos las propiedades básicas del determinante.

Teorema 1: El determinante de una matriz A y el de su traspuesta  son iguales; o sea, .[pic 6][pic 7]

Teorema 2: Sea A una matriz cuadrada.

1. Si A posee una fila (columna) de ceros, necesariamente .[pic 8]

1. Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente[pic 9]

1. Si A es triangular, esto es, A tiene sólo ceros por encima o debajo de la diagonal, entonces  es igual al producto de los elementos diagonales.[pic 10]

Teorema 3: Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas (columnas).

1. Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, [pic 11]

1. Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k,

 .[pic 12]

1. Si se ha sumado un múltiplo de una fila(columna) a otra, [pic 13]

Teorema 4: Sea A cualquier matriz n-cuadrada. Son equivalentes las siguientes aserciones:

1. A es invertible, es decir, tiene una inversa[pic 14]
2. AX=0 tiene únicamente la solución trivial.
3. El determinante de A es no nulo; [pic 15]

Teorema 5: El determinante es una función multiplicativa. O sea, el determinante del producto de dos matrices A y B es el producto de los determinantes [pic 16]

Teorema 6: Sea E una matriz elemental. En tal caso para toda matriz A, [pic 17]

Teorema 7: Supongamos que A y B son matrices similares. Entonces[pic 18]

1. Determinantes de orden arbitrario

Sea  una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K:[pic 19]

[pic 20]

Consideremos un producto de n  elementos de A tal que uno y solo uno de los elementos proviene de cada fila y solo uno proviene de cada columna. Tal producto puede escribirse:

[pic 21]

Donde los factores proceden de filas sucesivas, de modo que los primeros subíndices mantienen el orden natural 1,2,…, n. Ahora, como los factores provienen de columnas diferentes, la sucesión de los segundos subíndices constituye una permutación de Recíprocamente, cada permutación de  determina un producto de la forma anterior. Asi pues, la matriz A origina n! productos semejantes.[pic 22][pic 23][pic 24]

Definición: El determinante de A = , denotado por det(A) o  es la suma de los n! productos precedentes, multiplicado cada uno por sgn σ.  Es decir,[pic 25][pic 26]

[pic 27]

 Siendo,

[pic 28]

        Se dice que el determinante de la matriz n-cuadrad A es de orden n.

                Ejemplo

Sea  una matriz 3 x 3 en  las permutaciones 123, 231 y 321 son pares y las 321, 213 y 132 impares, por consiguiente[pic 29][pic 30]

Det(A)=[pic 31]

[pic 32]

Determinantes y Volumen

        Los determinantes están ligados a las nociones de área y volumen como sigue. Sean  vectores en   y S el paralelepípedo que determinan; esto es,[pic 33][pic 34]

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