Concepto y caracteres de las operaciones de álgebra

“El álgebra es el lenguaje de las matemáticas… las matemáticas son, esencialmente, la expresión (o reducción) de ideas complejas y sofisticadas mediante símbolos, y operaciones sobre símbolos. Una vez que tenemos los símbolos y las operaciones aparece el álgebra” (Lewis, 1975)

La posibilidad de representar con una sola letra un conjunto de valores y el hecho de poder manejarlos de forma sencilla es, precisamente, lo que hace que el álgebra sea de gran utilidad, pero muchas veces los alumnos no aprovechan las ventajas de los símbolos confundiendo la resolución de problemas. Los símbolos deben servir para realmente para recordar y comprender los procesos que se han seguido y para facilitar y hacer posible los cálculos.

La mayoría de los símbolos que se utilizan en álgebra se habían utilizado en aritmética. Por eso para los alumnos ya tenían un significado que, con frecuencia puede entrar en conflicto con los que ya tenían. Una de las mayores dificultades con que se encuentra un alumno al iniciar los estudios formales está en el uso y significado de las letras.

Para la enseñanza y aprendizaje del álgebra es fundamental el concepto de variable (Schoenfeld, 1988) y sin embargo la mayoría de las veces las variables se utilizan como si pudieran entenderse sin ningún problema, simplemente después de una simple práctica, el uso de las variables se confunde con el uso de las x y las y o de otras letras, manejándolas habitualmente con naturalidad, sin llegar a valorar ni la complejidad que tiene el concepto, ni los múltiples significados y usos que pueden tener las letras para los alumnos.

Adquirir el concepto de variable supone unir los procesos siguientes:

-Generalización: que permite pasar de un conjunto de situaciones concretas a algún aspecto común a todas ellas.

-Simbolización: que permite expresar de forma abreviada lo que tienen en común todas la situaciones.

El concepto de variable se encuentra en la base de muchas situaciones algebraicas aunque a veces no se observe de forma explícita. Esta circunstancia y el hecho de que con la variable se tratan a la vez conjuntos de valores son causas de dificultades. Para ello el estudio de la generalización puede ayudar a resolver algunos de estos problemas. En el proceso de generalización se está tratando con variables, pues intentar hallar el término general de una sucesión de figuras o de números es una manera de abordar una variable: el lugar de orden en la variable independiente y los casos particulares pueden interpretarse como valores de la variable. Estos casos particulares permiten al estudiante, encontrar propiedades comunes y pautas que pueden conducir a la expresión general.

Otro concepto importante es el de los símbolos de operación, en aritmética los signos de operación indican una acción que se va a hacer con números, y que da como resultado otro número, por tanto dar un significado a estos signos es dar un procedimiento que permita llegar a la respuesta. En álgebra tienen un carácter de representación, ya que indican operaciones que no siempre tienen porque realizarse, y pueden quedar indicados como operaciones en potencia o incompletas como lo menciona Collis (1974).

En algebra son también muy importantes las propiedades de las operaciones y las relaciones que se establecen entre ellas. Esto es lo que va a permitir realizar las transformaciones algebraicas que se apoyan directamente en las propiedades de las operaciones. Para dominar el álgebra hace falta que se relacione el significado de las operaciones con las acciones realizadas sobre las cantidades.

Bien hasta aquí solo hemos hablado de los conceptos que tienen que ver con el álgebra pero un punto importante que se debe tener en cuenta en todas las clases que van dentro de la rama de las matemáticas, son los errores, obstáculos y problemas que se les pueden presentar a los niños a la hora de aprender.

Conocer los errores que los alumnos pueden cometer al momento de aprender algebra es de suma importancia para un docente, ya que esto le proveerá la información necesaria para prever las situaciones que puedan ocurrir en su aula al momento de su práctica educativa, de esta forma el docente estará preparado para corregir y enfocarlos a el aprendizaje, mismas características que deberá tomar en cuenta al momento de planear.

Según el libro “Iniciación al algebra” los errores que los alumnos cometen se dividen en 4 categorías diferentes que son:

La naturaleza y significado de los símbolos y letras

Este error está fuertemente relacionado con “el obstáculo epistemológico” que menciona Ma. Del Carmen Chamorro en su libro “Didáctica de las matemáticas” a la hora de adquirir nuevos conocimientos matemáticos; estos obstáculos están ligados al conocimiento previo de varias situaciones matemáticas que se le han presentado al alumno con anterioridad. Existen conocimientos que sirven para una determinada situación pero son inútiles e incluso generan errores en otras.

Los símbolos por ejemplo son un fuerte obstáculo entre el aritmética y el aprendizaje del algebra, debido a que el alumno se forma una concepción en la que el símbolo siempre significa una acción, la idea de que el símbolo de la suma puede indicar el resultado y la acción, no es fácilmente apreciada por los alumnos aunque estas dos nociones sean necesarias para el conocimiento del algebra.

Incluso por ejemplo, los estudiantes están totalmente convencidos de que la posición que ocupe un número es determinante en su valor lo que puede generar el siguiente problema:

Si x=6, 4x=46.

Otro gran problema es por ejemplo la definición que se tiene del símbolo “=”, que en aritmética siempre es utilizado como un signo que determina un resultado. En cambio en las ecuaciones el signo “=” no conexiona identidades, si no que obliga a la incógnita a tomar valor para que la expresión sea verdadera. Este sentido bidireccional del signo igual, que puede ser a veces un indicador de una relación de equivalencia más que una señal para escribir la solución, no suele ser fácilmente interiorizado por los alumnos.

Y finalmente un gran cambio de la aritmética al algebra, que también es causante de muchos errores es el uso de literales, en aritmética también existen letras pero son utilizadas como representación de “Metros o gramos, etc.” más que como un valor de un número.

Dentro de los errores que genera el uso de literales, encontramos que los alumnos no detectan la literal como una variable, si no como una constante.

El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en algebra

En este `posible error también se hacen notar los problemas de relación con los anteriores conocimientos, y es que en la aritmética

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